Упр.16.51 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Решите графически уравнение: а) $$\sin x-\cos x$$; б) $$\sin x+\cos x=0$$.

а) Построим графики функций $$y=\sin x$$ и $$y=\cos x.$$ Их точки пересечения удовлетворяют уравнению

$$\sin x=\cos x.$$

Из графика видно, что первая точка пересечения соответствует

$$x=\frac{\pi}{4}.$$

Так как графики синуса и косинуса периодичны с периодом $$2\pi,$$ то все решения получаются прибавлением периода:

$$x=\frac{\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

б) Преобразуем уравнение:

$$\sin x+\cos x=0 \quad \Longleftrightarrow \quad \sin x=-\cos x.$$

Рассмотрим графики функций $$y=\sin x$$ и $$y=-\cos x.$$ Их точки пересечения дают решения уравнения. Первая точка пересечения соответствует

$$x=-\frac{\pi}{4}.$$

С учётом периода $$2\pi$$ получаем

$$x=-\frac{\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x=\frac{\pi}{4}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$
б) $$x=-\frac{\pi}{4}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$