Упр.16.48 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим точки пересечения графиков функций.

1. $$\cos x=\sqrt{x}+1$$

   Область определения: $$x\ge 0.$$

   При $$x=0$$ получаем:

   $$\cos 0=1,\qquad \sqrt{0}+1=1.$$

   Значит, $$x=0$$ — решение.

   Для $$x>0$$ правая часть больше $$1$$, а $$\cos x\le 1$$, поэтому других решений нет.

   Ответ: $$x=0.$$

2. $$\cos x=\sqrt{x-\frac{\pi}{2}}$$

   Область определения: $$x\ge \frac{\pi}{2}.$$

   При $$x=\frac{\pi}{2}$$ имеем:

   $$\cos \frac{\pi}{2}=0,\qquad \sqrt{\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{2}}=0.$$

   Следовательно, $$x=\frac{\pi}{2}$$ — решение.

   При $$x>\frac{\pi}{2}$$ правая часть неотрицательна, а графики пересекаются только в этой точке.

   Ответ: $$x=\frac{\pi}{2}.$$

3. $$\cos x=-(x-\pi)^2-1$$

   Правая часть не больше $$-1$$, то есть

   $$-(x-\pi)^2-1\le -1.$$

   Но $$\cos x\ge -1$$. Равенство возможно только при

   $$\cos x=-1 \quad \text{и} \quad -(x-\pi)^2-1=-1.$$

   Из второго равенства:

   $$x=\pi.$$

   Проверка:

   $$\cos \pi=-1,\qquad -(\pi-\pi)^2-1=-1.$$

   Ответ: $$x=\pi.$$

4. $$\cos x=|x|+1$$

   Так как $$|x|+1\ge 1$$, а $$\cos x\le 1$$, то равенство возможно только при

   $$\cos x=1 \quad \text{и} \quad |x|+1=1.$$

   Отсюда

   $$x=0.$$

   Ответ: $$x=0.$$