Упр.16.46 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
- Докажите, что функция $$y=\cos x$$: а) возрастает на отрезке $$[-3;\,-0,5]$$; б) убывает на интервале $$(7;\,9)$$; в) достигает на интервале $$(3;\,7)$$ наименьшего и наибольшего значений; г) не достигает на интервале $$(-3;\,-0,5)$$ ни наименьшего, ни наибольшего значений.
Рассмотрим функцию $$y=\cos x.$$
На отрезке $$[-3;\,-0{,}5]$$ имеем
$$-\pi<-3<-0{,}5<0,$$
значит,
$$[-3;\,-0{,}5]\subset[-\pi;\,0].$$
На отрезке $$[-\pi;\,0]$$ функция $$y=\cos x$$ возрастает, следовательно, она возрастает и на отрезке $$[-3;\,-0{,}5].$$
На интервале $$(7;\,9)$$ имеем
$$2\pi<7<9<3\pi,$$
значит,
$$(7;\,9)\subset(2\pi;\,3\pi).$$
На интервале $$(2\pi;\,3\pi)$$ функция $$y=\cos x$$ убывает, следовательно, она убывает и на интервале $$(7;\,9).$$
На интервале $$(3;\,7)$$ имеем
$$3<\pi<2\pi<7.$$
Точка $$x=\pi$$ принадлежит интервалу $$(3;\,7),$$ и
$$\cos \pi=-1.$$
Точка $$x=2\pi$$ также принадлежит интервалу $$(3;\,7),$$ и
$$\cos 2\pi=1.$$
Так как для функции $$y=\cos x$$ значения $$-1$$ и $$1$$ являются наименьшим и наибольшим, то на интервале $$(3;\,7)$$ функция достигает и наименьшего, и наибольшего значений.
На интервале $$(-3;\,-0{,}5)$$ имеем
$$-\pi<-3<-0{,}5<0,$$
значит,
$$(-3;\,-0{,}5)\subset(-\pi;\,0).$$
На интервале $$(-\pi;\,0)$$ функция $$y=\cos x$$ возрастает. Но на открытом интервале $$(-3;\,-0{,}5)$$ не достигаются его границы, поэтому функция не достигает ни наименьшего, ни наибольшего значений.
Ответ: а) возрастает; б) убывает; в) достигает наименьшего значения $$-1$$ и наибольшего значения $$1$$; г) не достигает ни наименьшего, ни наибольшего значений.
