Упр.16.41 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Подробный ответ

Рассмотрим функцию $$y=-\cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)+1{,}5.$$

а) На промежутке $$\left[\frac{\pi}{6};\pi\right]$$
Функция $$y=\cos x$$ убывает на $$\left[\frac{\pi}{2};\pi\right]$$ и возрастает на $$\left[\pi;\frac{4\pi}{3}\right]$$.
Тогда функция $$y=-\cos x$$ возрастает на $$\left[\frac{\pi}{2};\pi\right]$$ и убывает на $$\left[\pi;\frac{4\pi}{3}\right]$$, а значит, функция $$y=-\cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)+1{,}5$$ возрастает на $$\left[\frac{\pi}{6};\frac{2\pi}{3}\right]$$ и убывает на $$\left[\frac{2\pi}{3};\pi\right].$$
Найдём значения на концах и в точке смены монотонности:
$$y\left(\frac{\pi}{6}\right)=-\cos\left(\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{3}\right)+1{,}5 =-\cos\frac{\pi}{2}+1{,}5=1{,}5,$$
$$y\left(\frac{2\pi}{3}\right)=-\cos\left(\frac{2\pi}{3}+\frac{\pi}{3}\right)+1{,}5 =-\cos\pi+1{,}5=2{,}5,$$
$$y(\pi)=-\cos\left(\pi+\frac{\pi}{3}\right)+1{,}5 =-\cos\frac{4\pi}{3}+1{,}5=2.$$
Следовательно, $$y_{\min}=1{,}5,$$ $$y_{\max}=2{,}5.$$
б) На промежутке $$(1;9)$$
Длина промежутка равна $$9-1=8>2\pi,$$ значит, на нём содержится полный период функции. Поэтому функция принимает все значения от $$0{,}5$$ до $$2{,}5.$$
Итак, $$y_{\min}=0{,}5,$$ $$y_{\max}=2{,}5.$$
в) На промежутке $$[231;238]$$
Длина промежутка равна $$238-231=7>2\pi,$$ значит, в нём также содержится полный период функции. Следовательно,
$$-1\le \cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)\le 1,$$
$$0{,}5\le -\cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)+1{,}5\le 2{,}5.$$
Значит, $$y_{\min}=0{,}5,$$ $$y_{\max}=2{,}5.$$
г) На промежутке $$\left[0;\frac{\pi}{2}\right)$$
На этом промежутке функция возрастает, так как соответствующий участок графика косинуса после преобразований даёт возрастание.
Тогда наименьшее значение достигается при $$x=0$$:
$$y(0)=-\cos\frac{\pi}{3}+1{,}5=-\frac12+1{,}5=1.$$
Наибольшего значения на промежутке $$\left[0;\frac{\pi}{2}\right)$$ функция не достигает, так как правая граница не входит в промежуток.
Следовательно, $$y_{\min}=1,$$ а $$y_{\max}$$ не существует.