Упр.16.4 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

а) На отрезке $$\left[\frac{\pi}{4};\frac{2\pi}{3}\right]$$ функция $$y=\sin x$$ возрастает на $$\left[\frac{\pi}{4};\frac{\pi}{2}\right]$$ и убывает на $$\left[\frac{\pi}{2};\frac{2\pi}{3}\right].$$

Вычислим значения в концах и в точке максимума:

$$\sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt2}{2},\qquad \sin\frac{\pi}{2}=1,\qquad \sin\frac{2\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2}.$$

Следовательно, $$y_{\min}=\frac{\sqrt2}{2},\qquad y_{\max}=1.$$

б) На луче $$\left[\frac{\pi}{4};+\infty\right)$$ содержится полный период функции $$y=\sin x,$$ поэтому

$$-1\le \sin x\le 1.$$

Значит, $$y_{\min}=-1,\qquad y_{\max}=1.$$

в) На интервале $$\left(-\frac{3\pi}{2};\frac{3\pi}{4}\right)$$ длина промежутка больше периода $$2\pi,$$ поэтому функция $$y=\sin x$$ принимает все свои значения:

$$-1\le \sin x\le 1.$$

Следовательно, $$y_{\min}=-1,\qquad y_{\max}=1.$$

г) На полуинтервале $$\left(-\pi;\frac{\pi}{3}\right]$$ функция $$y=\sin x$$ убывает на $$\left(-\pi;-\frac{\pi}{2}\right]$$ и возрастает на $$\left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{3}\right].$$

Проверим значения в характерных точках:

$$\sin(-\pi)=0,\qquad \sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)=-1,\qquad \sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2}.$$

Значит, $$y_{\min}=-1,\qquad y_{\max}=\frac{\sqrt3}{2}.$$

Ответ

а) $$y_{\min}=\frac{\sqrt2}{2},\ y_{\max}=1.$$
б) $$y_{\min}=-1,\ y_{\max}=1.$$
в) $$y_{\min}=-1,\ y_{\max}=1.$$
г) $$y_{\min}=-1,\ y_{\max}=\frac{\sqrt3}{2}.$$