Упр.16.37 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

а) Пусть $$t=\sin x,$$ тогда $$-1\le t\le 1.$$

Имеем

$$y=t^2-6t+8=(t-3)^2-1.$$

Парабола направлена вверх, её вершина при $$t=3,$$ но это значение не принадлежит отрезку $$[-1;1].$$ Значит, наибольшее и наименьшее значения достигаются на концах отрезка:

$$y(-1)=(-1)^2-6\cdot(-1)+8=15,$$

$$y(1)=1^2-6\cdot1+8=3.$$

Следовательно, $$E(y)=[3;15].$$

б) Пусть $$t=\cos x,$$ тогда $$-1\le t\le 1.$$

Тогда

$$y=\sqrt{2-t}.$$

Так как $$-1\le t\le 1,$$ то

$$1\le 2-t\le 3,$$

а значит,

$$1\le \sqrt{2-t}\le \sqrt{3}.$$

Следовательно, $$E(y)=[1;\sqrt{3}].$$

в) Пусть $$t=\cos x,$$ тогда $$-1\le t\le 1.$$

Имеем

$$y=t^2+t+2=\left(t+\frac12\right)^2+\frac74.$$

На отрезке $$[-1;1]$$ значение $$\left(t+\frac12\right)^2$$ принимает значения от $$0$$ до $$\left(\frac32\right)^2=\frac94.$$ Поэтому

$$\frac74\le y\le \frac74+\frac94=4.$$

Следовательно, $$E(y)=\left[\frac74;4\right].$$

г) Пусть $$t=\sin x,$$ тогда $$-1\le t\le 1.$$

Тогда

$$y=\sqrt{8t-4}.$$

Для существования корня нужно

$$8t-4\ge 0,\quad t\ge \frac12.$$

При $$t\in\left[\frac12;1\right]$$ выражение $$8t-4$$ изменяется от $$0$$ до $$4,$$ значит

$$0\le y\le 2.$$

Следовательно, $$E(y)=[0;2].$$

Ответ: а) $$[3;15]$$; б) $$[1;\sqrt{3}]$$; в) $$\left[\frac74;4\right]$$; г) $$[0;2]$$.