Упр.16.35 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Найдите область значений функции: а) $$y=2\sin x$$; в) $$y=-3\cos x+2$$; б) $$y=\frac{3\cos x-2}{4}$$; г) $$y=\frac{1+4\sin x}{2}$$.

Используем тот факт, что $$-1 \le \sin x \le 1$$ и $$-1 \le \cos x \le 1.$$

1. $$y=2\sin x$$

   Умножим неравенство $$-1 \le \sin x \le 1$$ на $$2$$:

   $$-2 \le 2\sin x \le 2.$$

   Значит, $$y \in [-2;2].$$

2. $$y=(3\cos x-2)^4$$

   Так как $$-1 \le \cos x \le 1,$$ то

   $$-3 \le 3\cos x \le 3,$$

   $$-5 \le 3\cos x-2 \le 1.$$

   Четвёртая степень неотрицательна, минимальное значение равно $$0$$, а максимальное достигается при $$3\cos x-2=-5$$:

   $$(-5)^4=625.$$

   Следовательно, $$y \in [0;625].$$

3. $$y=-3\cos x+2$$

   Из $$-1 \le \cos x \le 1$$ получаем:

   $$-3 \le -3\cos x \le 3.$$

   Прибавим $$2$$:

   $$-1 \le -3\cos x+2 \le 5.$$

   Значит, $$y \in [-1;5].$$

4. $$y=(1+4\sin x)^2$$

   Так как $$-1 \le \sin x \le 1,$$ то

   $$-4 \le 4\sin x \le 4,$$

   $$-3 \le 1+4\sin x \le 5.$$

   Квадрат неотрицателен, поэтому

   $$0 \le (1+4\sin x)^2 \le 25.$$

   Следовательно, $$y \in [0;25].$$

Ответ: а) $$[-2;2]$$; б) $$[0;625]$$; в) $$[-1;5]$$; г) $$[0;25]$$.