Упр.16.34 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Решите уравнение:
   а) $$\sin(t+2\pi)+\sin(t-4\pi)=1$$;
   б) $$3\cos(2\pi+t)+\cos(t-2\pi)+2=0$$;
   в) $$\sin(t+4\pi)+\sin(t-6\pi)=\sqrt{3}$$;
   г) $$\cos(t+2\pi)+\cos(t-8\pi)=\sqrt{2}$$.

Используем периодичность тригонометрических функций: $$\sin(x+2\pi k)=\sin x,$$ $$\cos(x+2\pi k)=\cos x.$$

а)

$$\sin(t+2\pi)+\sin(t-4\pi)=1$$

$$\sin t+\sin t=1$$

$$2\sin t=1,$$

$$\sin t=\frac12.$$

Тогда

$$t=\frac{\pi}{6}+2\pi n,\quad t=\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

б)

$$3\cos(2\pi+t)+\cos(t-2\pi)+2=0$$

$$3\cos t+\cos t+2=0$$

$$4\cos t=-2,$$

$$\cos t=-\frac12.$$

Следовательно,

$$t=\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad t=\frac{4\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

в)

$$\sin(t+4\pi)+\sin(t-6\pi)=\sqrt3$$

$$\sin t+\sin t=\sqrt3$$

$$2\sin t=\sqrt3,$$

$$\sin t=\frac{\sqrt3}{2}.$$

Тогда

$$t=\frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad t=\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

г)

$$\cos(t+2\pi)+\cos(t-8\pi)=\sqrt2$$

$$\cos t+\cos t=\sqrt2$$

$$2\cos t=\sqrt2,$$

$$\cos t=\frac{\sqrt2}{2}.$$

Следовательно,

$$t=\frac{\pi}{4}+2\pi n,\quad t=\frac{7\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$t=\frac{\pi}{6}+2\pi n,\ \frac{5\pi}{6}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

б) $$t=\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\ \frac{4\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

в) $$t=\frac{\pi}{3}+2\pi n,\ \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

г) $$t=\frac{\pi}{4}+2\pi n,\ \frac{7\pi}{4}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$