Упр.16.30 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Докажите тождество:

а) $$\sin^2(x-8\pi)=1-\cos^2(16\pi-x)$$;

б) $$\cos^2(4\pi+x)=1-\sin^2(22\pi-x)$$.

а) Преобразуем левую и правую части, используя периодичность тригонометрических функций:

$$\sin^2(x-8\pi)=\sin^2 x,$$

так как $$8\pi=4\cdot 2\pi.$$

Далее

$$1-\cos^2(16\pi-x)=1-\cos^2(-x)=1-\cos^2 x,$$

так как $$16\pi=8\cdot 2\pi,$$ а косинус — чётная функция.

Получаем:

$$\sin^2 x=1-\cos^2 x.$$

По основному тригонометрическому тождеству

$$\sin^2 x+\cos^2 x=1,$$

следовательно, тождество верно.

б) Аналогично:

$$\cos^2(4\pi+x)=\cos^2 x,$$

так как $$4\pi=2\cdot 2\pi.$$

А правая часть равна

$$1-\sin^2(22\pi-x)=1-\sin^2(-x)=1-\sin^2 x,$$

так как $$22\pi=11\cdot 2\pi,$$ а синус — нечётная функция, поэтому после возведения в квадрат знак исчезает.

Тогда

$$\cos^2 x=1-\sin^2 x,$$

а это снова основное тригонометрическое тождество:

$$\sin^2 x+\cos^2 x=1.$$

Следовательно, тождество доказано.

Ответ: оба тождества верны.