Упр.16.26 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции $$y=\cos x$$.

Для функции $$y=\cos x$$ используем известные свойства: на промежутках монотонности наибольшие и наименьшие значения достигаются на концах отрезка или в точках, где функция принимает экстремальные значения.

1. На отрезке $$\left[\frac{\pi}{6};\frac{2\pi}{3}\right]$$ функция $$\cos x$$ убывает, значит:

   $$y_{\max}=\cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}, \qquad y_{\min}=\cos\frac{2\pi}{3}=-\frac{1}{2}.$$

2. На интервале $$\left(-\pi;\frac{\pi}{4}\right)$$ функция сначала возрастает на $$(-\pi;0]$$, затем убывает на $$[0;\frac{\pi}{4})$$. Наибольшее значение достигается в точке $$x=0$$:

   $$y_{\max}=\cos 0=1.$$

   Наименьшее значение на открытом интервале не достигается, так как точка $$x=-\pi$$ не входит в промежуток, а значение $$-1$$ лишь является нижней гранью.

3. На луче $$\left[-\frac{\pi}{4};+\infty\right)$$ в промежуток входит полный период функции $$y=\cos x$$, поэтому:

   $$-1\le \cos x\le 1.$$

   Следовательно,

   $$y_{\min}=-1,\qquad y_{\max}=1.$$

4. На полуинтервале $$\left[-\frac{\pi}{3};\frac{3\pi}{2}\right)$$ в промежуток входят точки $$x=0$$ и $$x=\pi$$:

   $$\cos 0=1,\qquad \cos \pi=-1.$$

   Значит,

   $$y_{\min}=-1,\qquad y_{\max}=1.$$

Ответ:

а) $$y_{\min}=-\frac{1}{2},\ y_{\max}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$;

б) $$y_{\max}=1,$$ наименьшего значения нет;

в) $$y_{\min}=-1,\ y_{\max}=1$$;

г) $$y_{\min}=-1,\ y_{\max}=1$$.