Упр.16.18 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
Докажите, что функция $$y=\sin x$$:
- а) возрастает на отрезке $$[12;13]$$;
- б) убывает на интервале $$(8;10)$$;
- в) достигает на интервале $$(7;12)$$ наименьшего и наибольшего значений;
- г) не достигает на интервале $$(-1;1)$$ ни наименьшего, ни наибольшего значений.
Так как функция $$y=\sin x$$ возрастает на каждом промежутке вида $$\left[-\frac{\pi}{2}+2\pi k;\,\frac{\pi}{2}+2\pi k\right]$$ и убывает на каждом промежутке вида $$\left[\frac{\pi}{2}+2\pi k;\,\frac{3\pi}{2}+2\pi k\right]$$, где $$k\in\mathbb{Z},$$ проверим данные интервалы.
а)
$$\frac{7\pi}{2}<12<13<\frac{9\pi}{2}$$
Значит,
$$[12;13]\subset\left[\frac{7\pi}{2};\frac{9\pi}{2}\right]=\left[-\frac{\pi}{2}+4\pi;\,\frac{\pi}{2}+4\pi\right].$$
На этом промежутке функция $$y=\sin x$$ возрастает, следовательно, она возрастает и на отрезке $$[12;13].$$
б)
$$\frac{5\pi}{2}<8<10<\frac{7\pi}{2}$$
Значит,
$$(8;10)\subset\left(\frac{5\pi}{2};\frac{7\pi}{2}\right)=\left(\frac{\pi}{2}+2\pi;\,\frac{3\pi}{2}+2\pi\right).$$
На этом промежутке функция $$y=\sin x$$ убывает, следовательно, она убывает и на интервале $$(8;10).$$
в)
$$7<\frac{5\pi}{2}<\frac{7\pi}{2}<12$$
Точки $$x=\frac{5\pi}{2}$$ и $$x=\frac{7\pi}{2}$$ принадлежат интервалу $$(7;12).$$
Вычислим значения функции:
$$\sin\frac{5\pi}{2}=\sin\left(\frac{5\pi}{2}-2\pi\right)=\sin\frac{\pi}{2}=1,$$
$$\sin\frac{7\pi}{2}=\sin\left(\frac{7\pi}{2}-2\pi\right)=\sin\frac{3\pi}{2}=-1.$$
Следовательно, на интервале $$(7;12)$$ функция $$y=\sin x$$ достигает наибольшего значения $$1$$ и наименьшего значения $$-1.$$
г)
$$-\frac{\pi}{2}<-1<1<\frac{\pi}{2}$$
Значит,
$$(-1;1)\subset\left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right).$$
На промежутке $$\left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right)$$ функция $$y=\sin x$$ возрастает, поэтому на интервале $$(-1;1)$$ она тоже возрастает. Следовательно, на этом интервале функция не достигает ни наименьшего, ни наибольшего значений.
Ответ
а) возрастает на $$[12;13]$$; б) убывает на $$(8;10)$$; в) на $$(7;12)$$ достигает наибольшего значения $$1$$ и наименьшего значения $$-1$$; г) на $$(-1;1)$$ не достигает ни наименьшего, ни наибольшего значений.
