Упр.16.13 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Функция $$y=\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)+0{,}5$$ получается из графика $$y=\sin x$$ сдвигом на $$\frac{\pi}{4}$$ вправо и на $$0{,}5$$ вверх.

а) На промежутке $$\left[\frac{\pi}{4};\frac{3\pi}{4}\right]$$

На этом промежутке аргумент $$x-\frac{\pi}{4}$$ пробегает значения от $$0$$ до $$\frac{\pi}{2}$$, а значит, $$\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)$$ возрастает от $$0$$ до $$1$$.

Тогда

$$y_{\min}=\sin 0+0{,}5=0{,}5,$$

$$y_{\max}=\sin\frac{\pi}{2}+0{,}5=1{,}5.$$

б) На промежутке $$\left(\frac{3\pi}{4};\frac{9\pi}{4}\right)$$

Здесь аргумент $$x-\frac{\pi}{4}$$ изменяется от $$\frac{\pi}{2}$$ до $$2\pi$$. На этом промежутке функция $$\sin t$$ сначала убывает, затем возрастает, поэтому наибольшее значение равно $$1$$, а наименьшее — $$-1$$.

Следовательно,

$$y_{\min}=-1+0{,}5=-0{,}5,$$

$$y_{\max}=1+0{,}5=1{,}5.$$

в) На промежутке $$[0;\pi]$$

Найдём значения функции на концах и в точке, где синус достигает максимума:

$$y(0)=\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right)+0{,}5=-\frac{\sqrt2}{2}+0{,}5=\frac{1-\sqrt2}{2},$$

$$y\left(\frac{3\pi}{4}\right)=\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)+0{,}5=1{,}5,$$

$$y(\pi)=\sin\left(\frac{3\pi}{4}\right)+0{,}5=\frac{\sqrt2}{2}+0{,}5=\frac{1+\sqrt2}{2}.$$

Наименьшее значение на данном промежутке равно $$\frac{1-\sqrt2}{2}$$, наибольшее — $$1{,}5$$.

г) На промежутке $$\left[\frac{\pi}{4};+\infty\right)$$

Так как функция $$\sin t$$ принимает все значения от $$-1$$ до $$1$$, то и функция

$$y=\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)+0{,}5$$

принимает значения от

$$-1+0{,}5=-0{,}5$$

до

$$1+0{,}5=1{,}5.$$

На указанном промежутке достигаются оба этих значения.

Ответ: а) $$y_{\min}=0{,}5,\ y_{\max}=1{,}5$$; б) $$y_{\min}=-0{,}5,\ y_{\max}=1{,}5$$; в) $$y_{\min}=\frac{1-\sqrt2}{2},\ y_{\max}=1{,}5$$; г) $$y_{\min}=-0{,}5,\ y_{\max}=1{,}5$$.