Упр.15.15 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

• Использовав геометрические соображения, вычислите: а) $$\sin 15^\circ$$ и $$\cos 15^\circ$$; б) $$\sin 22{,}5^\circ$$ и $$\cos 22{,}5^\circ$$.

Рассмотрим равнобедренный треугольник $$ABC$$, у которого $$AB=BC=1$$.

Для пункта а) пусть $$\angle A=\angle C=15^\circ$$. Тогда

$$\angle B=180^\circ-15^\circ-15^\circ=150^\circ.$$

По теореме косинусов:

$$AC^2=AB^2+BC^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot \cos \angle B$$

$$AC^2=1^2+1^2-2\cdot 1\cdot 1\cdot \cos 150^\circ =2-2\cdot\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)=2+\sqrt3.$$

Значит,

$$AC=\sqrt{2+\sqrt3}.$$

По теореме синусов:

$$\frac{AB}{\sin \angle C}=\frac{AC}{\sin \angle B}$$

откуда

$$\frac{1}{\sin 15^\circ}=\frac{\sqrt{2+\sqrt3}}{\sin 150^\circ} =\frac{\sqrt{2+\sqrt3}}{\frac12}.$$

Следовательно,

$$\sin 15^\circ=\frac{1}{2\sqrt{2+\sqrt3}}=\frac{\sqrt6-\sqrt2}{4}.$$

Так как угол $$15^\circ$$ лежит в первой четверти, то

$$\cos 15^\circ=\sqrt{1-\sin^2 15^\circ} =\sqrt{1-\left(\frac{\sqrt6-\sqrt2}{4}\right)^2} =\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}.$$

Для пункта б) аналогично: $$\angle A=\angle C=22{,}5^\circ$$, значит

$$\angle B=180^\circ-22{,}5^\circ-22{,}5^\circ=135^\circ.$$

По теореме косинусов:

$$AC^2=1^2+1^2-2\cdot 1\cdot 1\cdot \cos 135^\circ =2-2\cdot\left(-\frac{\sqrt2}{2}\right)=2+\sqrt2,$$

то есть

$$AC=\sqrt{2+\sqrt2}.$$

По теореме синусов:

$$\frac{1}{\sin 22{,}5^\circ}=\frac{\sqrt{2+\sqrt2}}{\sin 135^\circ} =\frac{\sqrt{2+\sqrt2}}{\frac{\sqrt2}{2}}.$$

Отсюда

$$\sin 22{,}5^\circ=\frac{\sqrt{2-\sqrt2}}{2}.$$

Так как $$22{,}5^\circ$$ — угол первой четверти, то

$$\cos 22{,}5^\circ=\sqrt{1-\sin^2 22{,}5^\circ} =\sqrt{1-\left(\frac{\sqrt{2-\sqrt2}}{2}\right)^2} =\frac{\sqrt{2+\sqrt2}}{2}.$$

Ответ

$$\sin 15^\circ=\frac{\sqrt6-\sqrt2}{4},\qquad \cos 15^\circ=\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4};$$

$$\sin 22{,}5^\circ=\frac{\sqrt{2-\sqrt2}}{2},\qquad \cos 22{,}5^\circ=\frac{\sqrt{2+\sqrt2}}{2}.$$