Упр.15.22 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Дано выражение $$\sin 1^\circ+\sin 2^\circ+\sin 3^\circ+\ldots+\sin n^\circ$$.

а) При каких натуральных значениях $$n$$ это выражение положительно?

б) При каких натуральных значениях $$n$$ это выражение отрицательно?

в) При каких натуральных значениях $$n$$ это выражение равно нулю?

Используем периодичность синуса:

$$\sin(180^\circ+a)=-\sin a.$$

Тогда

$$\sin 181^\circ=-\sin 1^\circ,\quad \sin 182^\circ=-\sin 2^\circ,\quad \ldots$$

Кроме того,

$$\sin 180^\circ=0,\quad \sin 360^\circ=0.$$

Рассмотрим сумму

$$S_n=\sin 1^\circ+\sin 2^\circ+\cdots+\sin n^\circ.$$

Если $$n=360k-1$$ или $$n=360k,$$ то все слагаемые можно разбить на пары вида

$$\sin m^\circ+\sin(360^\circ-m^\circ)=\sin m^\circ-\sin m^\circ=0,$$

а также учесть, что $$\sin 180^\circ=0.$$ Поэтому в этих случаях

$$S_n=0.$$

Если $$n=360k+r,$$ где $$1\le r\le 358,$$ то после взаимного уничтожения пар останется сумма положительных слагаемых, поэтому

$$S_n>0.$$

Отрицательных значений сумма не принимает.

Ответ: а) при всех $$n,$$ кроме $$n=360k-1$$ и $$n=360k;$$ б) ни при каких $$n;$$ в) при $$n=360k-1$$ и $$n=360k,$$ где $$k\in\mathbb{N}.$$