Упр.15.21 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Дано выражение $$\cos 1^\circ \cos 2^\circ \cos 3^\circ \cdots \cos n^\circ.$$

а) При каких натуральных значениях $$n$$ это выражение положительно?

б) При каких натуральных значениях $$n$$ это выражение отрицательно?

в) При каких натуральных значениях $$n$$ это выражение равно нулю?

Рассмотрим произведение

$$S_n=\cos 1^\circ\cdot \cos 2^\circ\cdot \cos 3^\circ\cdot \ldots \cdot \cos n^\circ.$$

1. Если $$n\le 89,$$ то все углы $$1^\circ,2^\circ,\ldots,n^\circ$$ меньше $$90^\circ,$$ значит, каждый множитель положителен:

   $$\cos k^\circ>0 \quad \text{при } 1\le k\le 89.$$

   Следовательно,

   $$S_n>0.$$

2. Если $$n\ge 90,$$ то среди множителей есть

   $$\cos 90^\circ=0.$$

   Тогда всё произведение равно нулю:

   $$S_n=0.$$

3. Отрицательным это произведение быть не может, так как при $$n\le 89$$ все множители положительны, а при $$n\ge 90$$ произведение равно нулю.

Ответ: а) при $$n\le 89$$; б) ни при каких $$n$$; в) при $$n\ge 90$$.