Упр.15.18 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) $$\sin^2 1^\circ+\sin^2 2^\circ+\sin^2 3^\circ+\ldots+\sin^2 90^\circ$$;
   б) $$\cos^2 1^\circ+\cos^2 2^\circ+\cos^2 3^\circ+\ldots+\cos^2 180^\circ$$.

Используем формулы:

$$\sin(90^\circ-a)=\cos a,\qquad \cos(90^\circ-a)=\sin a.$$

а)

$$S=\sin^2 1^\circ+\sin^2 2^\circ+\sin^2 3^\circ+\dots+\sin^2 90^\circ.$$

Сгруппируем слагаемые попарно:

$$S=(\sin^2 1^\circ+\sin^2 89^\circ)+(\sin^2 2^\circ+\sin^2 88^\circ)+\dots+(\sin^2 44^\circ+\sin^2 46^\circ)+\sin^2 45^\circ+\sin^2 90^\circ.$$

Так как $$\sin^2(90^\circ-a)=\cos^2 a,$$ то каждая пара даёт

$$\sin^2 k^\circ+\sin^2(90^\circ-k^\circ)=\sin^2 k^\circ+\cos^2 k^\circ=1.$$

Таких пар $$44,$$ а ещё

$$\sin^2 45^\circ=\left(\frac{\sqrt2}{2}\right)^2=\frac12,\qquad \sin^2 90^\circ=1.$$

Тогда

$$S=44\cdot 1+\frac12+1=45{,}5.$$

б)

$$S=\cos^2 1^\circ+\cos^2 2^\circ+\cos^2 3^\circ+\dots+\cos^2 180^\circ.$$

Сгруппируем симметричные слагаемые:

$$S=(\cos^2 1^\circ+\cos^2 179^\circ)+(\cos^2 2^\circ+\cos^2 178^\circ)+\dots+(\cos^2 89^\circ+\cos^2 91^\circ)+\cos^2 90^\circ+\cos^2 180^\circ.$$

Поскольку $$\cos(180^\circ-a)=-\cos a,$$ то

$$\cos^2(180^\circ-a)=\cos^2 a.$$

Значит, каждая пара даёт

$$\cos^2 k^\circ+\cos^2(180^\circ-k^\circ)=2\cos^2 k^\circ.$$

Тогда

$$S=2(\cos^2 1^\circ+\cos^2 2^\circ+\dots+\cos^2 89^\circ)+\cos^2 90^\circ+\cos^2 180^\circ.$$

Снова сгруппируем:

$$S=2\bigl((\cos^2 1^\circ+\sin^2 1^\circ)+(\cos^2 2^\circ+\sin^2 2^\circ)+\dots+(\cos^2 44^\circ+\sin^2 44^\circ)+\cos^2 45^\circ\bigr)+1.$$

Так как $$\cos^2 k^\circ+\sin^2 k^\circ=1,$$ а $$\cos^2 45^\circ=\frac12,$$ получаем

$$S=2(44+\tfrac12)+1=90.$$

Ответ

а) $$45{,}5$$; б) $$90$$.