Упр.15.14 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Высота треугольника равна $$5\ \text{см}$$, а углы, прилегающие к основанию, равны $$60^\circ$$ и $$45^\circ$$. Найдите площадь треугольника.

Пусть $$BH$$ — высота треугольника, тогда $$BH=5$$ см, $$\angle A=45^\circ$$, $$\angle C=60^\circ$$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $$ABH$$ и $$CBH$$.

В треугольнике $$ABH$$:

$$\ctg \angle A=\frac{AH}{BH}, \qquad AH=BH\cdot \ctg 45^\circ=5\cdot 1=5\text{ см}.$$

В треугольнике $$CBH$$:

$$\ctg \angle C=\frac{CH}{BH}, \qquad CH=BH\cdot \ctg 60^\circ=5\cdot \frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{5\sqrt{3}}{3}\text{ см}.$$

Тогда основание

$$AC=AH+CH=5+\frac{5\sqrt{3}}{3}=\frac{15+5\sqrt{3}}{3}=\frac{5(3+\sqrt{3})}{3}\text{ см}.$$

Площадь треугольника:

$$S_{ABC}=\frac12\cdot AC\cdot BH=\frac12\cdot \frac{5(3+\sqrt{3})}{3}\cdot 5=\frac{25(3+\sqrt{3})}{6}\text{ см}^2.$$

Ответ: $$\frac{25(3+\sqrt{3})}{6}\text{ см}^2.$$