Упр.15.13 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. В треугольнике $$ABC$$ известно, что $$AB = 4\sqrt{2}$$ см, угол $$A = 45^\circ$$, угол $$C = 30^\circ$$. Найдите $$BC$$, $$AC$$ и площадь треугольника $$ABC$$.

По теореме синусов:

$$\frac{BC}{\sin 45^\circ}=\frac{AB}{\sin 30^\circ}$$

$$BC=AB\cdot \frac{\sin 45^\circ}{\sin 30^\circ}=4\sqrt{2}\cdot \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac12}=8\text{ см}.$$

Найдём угол $$B$$:

$$\angle B=180^\circ-45^\circ-30^\circ=105^\circ.$$

Тогда по теореме синусов:

$$\frac{AC}{\sin 105^\circ}=\frac{AB}{\sin 30^\circ}.$$

Так как

$$\sin 105^\circ=\sin(60^\circ+45^\circ)=\sin 60^\circ\cos 45^\circ+\cos 60^\circ\sin 45^\circ=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4},$$

то

$$AC=4\sqrt{2}\cdot \frac{\sin 105^\circ}{\sin 30^\circ}=4\sqrt{2}\cdot \frac{\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}{\frac12}=4(\sqrt{3}+1)\text{ см}.$$

Найдём высоту $$BH$$ к стороне $$AC$$. В прямоугольном треугольнике $$ABH$$:

$$BH=AB\cdot \sin 45^\circ=4\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=4\text{ см}.$$

Площадь треугольника:

$$S_{ABC}=\frac12\cdot AC\cdot BH=\frac12\cdot 4(\sqrt{3}+1)\cdot 4=8(\sqrt{3}+1)\text{ см}^2.$$

Ответ: $$BC=8\text{ см},\quad AC=4(\sqrt{3}+1)\text{ см},\quad S_{ABC}=8(\sqrt{3}+1)\text{ см}^2.$$