Упр.14.7 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции $$s=f(t)$$, если:
   а) $$f(t)=1-(\cos 2t-\sin 2t)$$;
   б) $$f(t)=1-\sin t\cos t\,\operatorname{tg}t$$;
   в) $$f(t)=\cos 2t\,\operatorname{tg}2t+5\cos 2t-1$$;
   г) $$f(t)=\sin t+3\sin 2t+3\cos 2t$$.

а) $$f(t)=1-(\cos^2 t-\sin^2 t)=1-\cos^2 t+\sin^2 t=\sin^2 t+\sin^2 t=2\sin^2 t.$$

Так как $$0\le \sin^2 t\le 1,$$ то

$$0\le 2\sin^2 t\le 2.$$

Наименьшее значение: $$0,$$ наибольшее значение: $$2.$$

б) $$f(t)=1-\sin t\cdot \cos t\cdot \tg t=1-\sin t\cdot \cos t\cdot \frac{\sin t}{\cos t}=1-\sin^2 t=\cos^2 t.$$

Так как $$0\le \cos^2 t\le 1,$$ то

Наименьшее значение: $$0,$$ наибольшее значение: $$1.$$

в) $$f(t)=\cos^2 t\cdot \tg^2 t+5\cos^2 t-1.$$

Преобразуем:

$$f(t)=\cos^2 t\cdot \frac{\sin^2 t}{\cos^2 t}+5\cos^2 t-1=\sin^2 t+5\cos^2 t-1.$$

Так как $$\sin^2 t+\cos^2 t=1,$$ получаем

$$f(t)=\sin^2 t+5\cos^2 t-(\sin^2 t+\cos^2 t)=4\cos^2 t.$$

Следовательно,

$$0\le 4\cos^2 t\le 4.$$

Наименьшее значение: $$0,$$ наибольшее значение: $$4.$$

г) $$f(t)=\sin t+3\sin^2 t+3\cos^2 t.$$

Используем тождество $$\sin^2 t+\cos^2 t=1$$:

$$f(t)=\sin t+3(\sin^2 t+\cos^2 t)=\sin t+3.$$

Так как $$-1\le \sin t\le 1,$$ то

$$2\le \sin t+3\le 4.$$

Наименьшее значение: $$2,$$ наибольшее значение: $$4.$$