Упр.14.7 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
- Найдите наименьшее и наибольшее значения функции $$s=f(t)$$, если:
а) $$f(t)=1-(\cos 2t-\sin 2t)$$;
б) $$f(t)=1-\sin t\cos t\,\operatorname{tg}t$$;
в) $$f(t)=\cos 2t\,\operatorname{tg}2t+5\cos 2t-1$$;
г) $$f(t)=\sin t+3\sin 2t+3\cos 2t$$.
а) $$f(t)=1-(\cos^2 t-\sin^2 t)=1-\cos^2 t+\sin^2 t=\sin^2 t+\sin^2 t=2\sin^2 t.$$
Так как $$0\le \sin^2 t\le 1,$$ то
$$0\le 2\sin^2 t\le 2.$$
Наименьшее значение: $$0,$$ наибольшее значение: $$2.$$
б) $$f(t)=1-\sin t\cdot \cos t\cdot \tg t=1-\sin t\cdot \cos t\cdot \frac{\sin t}{\cos t}=1-\sin^2 t=\cos^2 t.$$
Так как $$0\le \cos^2 t\le 1,$$ то
Наименьшее значение: $$0,$$ наибольшее значение: $$1.$$
в) $$f(t)=\cos^2 t\cdot \tg^2 t+5\cos^2 t-1.$$
Преобразуем:
$$f(t)=\cos^2 t\cdot \frac{\sin^2 t}{\cos^2 t}+5\cos^2 t-1=\sin^2 t+5\cos^2 t-1.$$
Так как $$\sin^2 t+\cos^2 t=1,$$ получаем
$$f(t)=\sin^2 t+5\cos^2 t-(\sin^2 t+\cos^2 t)=4\cos^2 t.$$
Следовательно,
$$0\le 4\cos^2 t\le 4.$$
Наименьшее значение: $$0,$$ наибольшее значение: $$4.$$
г) $$f(t)=\sin t+3\sin^2 t+3\cos^2 t.$$
Используем тождество $$\sin^2 t+\cos^2 t=1$$:
$$f(t)=\sin t+3(\sin^2 t+\cos^2 t)=\sin t+3.$$
Так как $$-1\le \sin t\le 1,$$ то
$$2\le \sin t+3\le 4.$$
Наименьшее значение: $$2,$$ наибольшее значение: $$4.$$
