Упр.14.39 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

а) Пусть $$t=\sin x,$$ тогда $$-1\le t\le 1.$$

Имеем

$$y=\sqrt{8-27\sin x-4\sin^2 x}=\sqrt{8-27t-4t^2}.$$

Рассмотрим подкоренное выражение как квадратный трёхчлен:

$$f(t)=8-27t-4t^2.$$

Его вершина находится в точке

$$t_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{-27}{2\cdot(-4)}=-\frac{27}{8}<-1,$$

значит, на отрезке $$[-1;1]$$ функция убывает. Тогда

$$f_{\max}=f(-1)=8-27\cdot(-1)-4\cdot(-1)^2=31,$$

$$f_{\min}=f(1)=8-27\cdot1-4\cdot1^2=-23.$$

Так как подкоренное выражение должно быть неотрицательным, то

$$0\le f(t)\le 31.$$

Следовательно,

$$0\le y\le \sqrt{31}.$$

Целые значения $$y$$:

$$0,1,2,3,4,5.$$

Их всего $$6$$.

б) Пусть $$t=\cos x,$$ тогда $$-1\le t\le 1.$$

Преобразуем подкоренное выражение:

$$y=\sqrt{4+24\cos x-\sin^2 x}=\sqrt{4+24t-(1-t^2)}=\sqrt{t^2+24t+3}.$$

Допишем до квадрата:

$$t^2+24t+3=(t+12)^2-141.$$

Тогда

$$y=\sqrt{(t+12)^2-141}.$$

При $$-1\le t\le 1$$ имеем $$11\le t+12\le 13,$$ значит

$$121\le (t+12)^2\le 169,$$

откуда

$$-20\le (t+12)^2-141\le 28.$$

Но подкоренное выражение должно быть неотрицательным, значит

$$0\le y\le \sqrt{28}.$$

Целые значения $$y$$:

$$0,1,2,3,4,5.$$

Их всего $$6$$.

Ответ

а) $$6$$; б) $$6$$.