Упр.14.34 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
- Найдите наименьшее и наибольшее значения функции:
а) $$y=\sin^2 x+2\sin x-5$$;
б) $$y=\sin^2 x-3\cos^2 x+2\cos x$$;
в) $$y=4\cos^2 x-4\cos x-2$$;
г) $$y=\cos^2 x-3\sin^2 x-4\sin x$$.
Используем тождество $$\sin^2 x+\cos^2 x=1.$$
$$y=\sin^2 x+2\sin x-5.$$
Обозначим $$t=\sin x,$$ тогда $$-1\le t\le 1.$$ Получаем
$$y=t^2+2t-5=(t+1)^2-6.$$
Так как $$-1\le t\le 1,$$ то $$0\le (t+1)^2\le 4.$$ Значит,
$$-6\le y\le -2.$$
Наименьшее значение: $$-6,$$ наибольшее значение: $$-2.$$
$$y=\sin^2 x-3\cos^2 x+2\cos x.$$
Положим $$t=\cos x,$$ тогда $$-1\le t\le 1,$$ а $$\sin^2 x=1-\cos^2 x=1-t^2.$$ Тогда
$$y=1-t^2-3t^2+2t=1-4t^2+2t.$$
Рассмотрим квадратный трёхчлен
$$y=-4t^2+2t+1=-4\left(t-\frac14\right)^2+\frac54.$$
Следовательно, наибольшее значение равно $$\frac54.$$
Минимум на отрезке $$[-1;1]$$ достигается на концах:
$$y(-1)=-4-2+1=-5,\qquad y(1)=-4+2+1=-1.$$
Значит, наименьшее значение: $$-5,$$ наибольшее значение: $$\frac54.$$
$$y=4\cos^2 x-4\cos x-2.$$
Пусть $$t=\cos x,$$ тогда $$-1\le t\le 1.$$ Имеем
$$y=4t^2-4t-2=4\left(t-\frac12\right)^2-3.$$
Отсюда наименьшее значение равно $$-3.$$
Наибольшее значение на $$[-1;1]$$ достигается на концах:
$$y(-1)=4+4-2=6,\qquad y(1)=4-4-2=-2.$$
Значит, наибольшее значение: $$6.$$
$$y=\cos^2 x-3\sin^2 x-4\sin x.$$
Положим $$t=\sin x,$$ тогда $$-1\le t\le 1,$$ а $$\cos^2 x=1-\sin^2 x=1-t^2.$$ Получаем
$$y=1-t^2-3t^2-4t=1-4t^2-4t.$$
Преобразуем:
$$y=-4\left(t+\frac12\right)^2+2.$$
Следовательно, наибольшее значение равно $$2.$$
Минимум на $$[-1;1]$$ достигается на концах:
$$y(-1)=1-4+4=1,\qquad y(1)=1-4-4=-7.$$
Значит, наименьшее значение: $$-7.$$
Ответ: а) $$-6$$ и $$-2$$; б) $$-5$$ и $$\frac54$$; в) $$-3$$ и $$6$$; г) $$-7$$ и $$2$$.
