Упр.14.33 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

а) Пусть $$t=\sin x,$$ тогда $$t\in[-1;1]$$ и

$$y=t^2+2t-5.$$

Это парабола, ветви направлены вверх. Абсцисса вершины:

$$t_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{2}{2\cdot 1}=-1.$$

Значит, на отрезке $$[-1;1]$$ минимум достигается при $$t=-1,$$ а максимум — на правом конце отрезка, при $$t=1.$$

$$y(-1)=(-1)^2+2\cdot(-1)-5=1-2-5=-6,$$

$$y(1)=1^2+2\cdot 1-5=1+2-5=-2.$$

Ответ: $$-6;\,-2.$$

б) Пусть $$t=\cos x,$$ тогда $$t\in[-1;1]$$ и

$$y=\sin^2 x-3\cos^2 x+2\cos x=1-\cos^2 x-3\cos^2 x+2\cos x=1-4t^2+2t.$$

Это парабола, ветви направлены вниз. Абсцисса вершины:

$$t_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{2}{2\cdot(-4)}=\frac14.$$

Следовательно, максимум достигается при $$t=\frac14,$$ а минимум — на концах отрезка.

$$y(-1)=1-4\cdot(-1)^2+2\cdot(-1)=-5,$$

$$y\!\left(\frac14\right)=1-4\cdot\left(\frac14\right)^2+2\cdot\frac14=1-\frac14+\frac12=\frac54,$$

$$y(1)=1-4\cdot 1^2+2\cdot 1=-1.$$

Значит, наименьшее значение равно $$-5,$$ наибольшее — $$\frac54.$$

Ответ: $$-5;\,\frac54.$$

в) Пусть $$t=\cos x,$$ тогда $$t\in[-1;1]$$ и

$$y=4t^2-4t-2.$$

Парабола направлена вверх. Абсцисса вершины:

$$t_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{-4}{2\cdot 4}=\frac12.$$

Тогда

$$y\!\left(\frac12\right)=4\cdot\left(\frac12\right)^2-4\cdot\frac12-2=1-2-2=-3,$$

$$y(-1)=4\cdot(-1)^2-4\cdot(-1)-2=4+4-2=6,$$

$$y(1)=4\cdot 1^2-4\cdot 1-2=-2.$$

Следовательно, $$y_{\min}=-3,$$ $$y_{\max}=6.$$

Ответ: $$-3;\,6.$$

г) Пусть $$t=\sin x,$$ тогда $$t\in[-1;1]$$ и

$$y=\cos^2 x-3\sin^2 x-4\sin x=1-\sin^2 x-3\sin^2 x-4\sin x=1-4t^2-4t.$$

Парабола направлена вниз. Абсцисса вершины:

$$t_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{-4}{2\cdot(-4)}=-\frac12.$$

Тогда

$$y\!\left(-\frac12\right)=1-4\cdot\left(-\frac12\right)^2-4\cdot\left(-\frac12\right)=1-1+2=2,$$

$$y(-1)=1-4\cdot(-1)^2-4\cdot(-1)=1-4+4=1,$$

$$y(1)=1-4\cdot 1^2-4\cdot 1=1-4-4=-7.$$

Значит, $$y_{\min}=-7,$$ $$y_{\max}=2.$$

Ответ: $$-7;\,2.$$