Упр.14.32 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$\sqrt{\sin^{-2} t-\ctg^2 t+\cos^2 t-1}+\sqrt{\cos^{-2} t-\tg^2 t+\sin^2 t-1}+2\sin t-\cos t$$

Преобразуем подкоренные выражения:

$$\sin^{-2} t-\ctg^2 t+\cos^2 t-1=\frac{1}{\sin^2 t}-\frac{\cos^2 t}{\sin^2 t}+\cos^2 t-1=1+\ctg^2 t-\ctg^2 t+\cos^2 t-1=\cos^2 t,$$

$$\cos^{-2} t-\tg^2 t+\sin^2 t-1=\frac{1}{\cos^2 t}-\frac{\sin^2 t}{\cos^2 t}+\sin^2 t-1=1+\tg^2 t-\tg^2 t+\sin^2 t-1=\sin^2 t.$$

Тогда

$$\sqrt{\cos^2 t}+\sqrt{\sin^2 t}+2\sin t-\cos t=|\cos t|+|\sin t|+2\sin t-\cos t.$$

Так как $$t\in(13;14),$$ то $$4\pi<13<14<4\pi+\frac{\pi}{2},$$ значит, $$t$$ — угол первой четверти. Следовательно, $$\cos t>0$$ и $$\sin t>0$$, поэтому

$$|\cos t|=\cos t,\qquad |\sin t|=\sin t.$$

Получаем:

$$\cos t+\sin t+2\sin t-\cos t=3\sin t.$$

б) $$\sqrt{\sin^2 t(1-2\ctg t)+4\cos^2 t(1-0{,}5\tg t)}+\sin t+\cos t$$

Преобразуем выражение под корнем:

$$\sin^2 t(1-2\ctg t)+4\cos^2 t(1-0{,}5\tg t)=\sin^2 t-2\sin t\cos t+4\cos^2 t-2\sin t\cos t,$$

$$=\sin^2 t-4\sin t\cos t+4\cos^2 t=(\sin t-2\cos t)^2.$$

Тогда

$$\sqrt{(\sin t-2\cos t)^2}+\sin t+\cos t=|\sin t-2\cos t|+\sin t+\cos t.$$

Так как $$t\in(0;1),$$ а $$1<\frac{\pi}{3},$$ то $$0<t<\frac{\pi}{3}.$$ Значит,

$$\frac12<\cos t<1,\qquad 0<\sin t<1,$$

откуда

$$1<2\cos t<2,\qquad \sin t-2\cos t<0.$$

Следовательно,

$$|\sin t-2\cos t|=-(\sin t-2\cos t)=2\cos t-\sin t.$$

Тогда

$$2\cos t-\sin t+\sin t+\cos t=3\cos t.$$

Ответ: а) $$3\sin t$$; б) $$3\cos t$$.