Упр.14.31 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$\sqrt{\frac{1+\cos t}{1-\cos t}}+\sqrt{\frac{1-\cos t}{1+\cos t}}+\frac{2}{\sin t}$$

Преобразуем дроби под корнями:

$$\sqrt{\frac{(1+\cos t)^2}{(1-\cos t)(1+\cos t)}}+\sqrt{\frac{(1-\cos t)^2}{(1-\cos t)(1+\cos t)}}+\frac{2}{\sin t}$$

$$=\sqrt{\frac{(1+\cos t)^2}{1-\cos^2 t}}+\sqrt{\frac{(1-\cos t)^2}{1-\cos^2 t}}+\frac{2}{\sin t}$$

Так как $$1-\cos^2 t=\sin^2 t,$$ получаем:

$$=\sqrt{\frac{(1+\cos t)^2}{\sin^2 t}}+\sqrt{\frac{(1-\cos t)^2}{\sin^2 t}}+\frac{2}{\sin t}$$

$$=\left|\frac{1+\cos t}{\sin t}\right|+\left|\frac{1-\cos t}{\sin t}\right|+\frac{2}{\sin t}$$

По условию $$t$$ лежит в третьей четверти, значит $$\pi<t<\frac{3\pi}{2}$$, поэтому

$$\sin t<0,\qquad \cos t<0.$$

Тогда

$$\left|\frac{1+\cos t}{\sin t}\right|=-\frac{1+\cos t}{\sin t},\qquad \left|\frac{1-\cos t}{\sin t}\right|=-\frac{1-\cos t}{\sin t}.$$

Следовательно,

$$-\frac{1+\cos t}{\sin t}-\frac{1-\cos t}{\sin t}+\frac{2}{\sin t}=0.$$

Ответ: $$0$$.

б) $$\sqrt{\frac{1-\sin t}{1+\sin t}}+\tg t$$

Преобразуем выражение под корнем:

$$\sqrt{\frac{(1-\sin t)^2}{(1+\sin t)(1-\sin t)}}+\tg t=\sqrt{\frac{(1-\sin t)^2}{1-\sin^2 t}}+\tg t$$

Так как $$1-\sin^2 t=\cos^2 t,$$ имеем:

$$=\sqrt{\frac{(1-\sin t)^2}{\cos^2 t}}+\tg t=\left|\frac{1-\sin t}{\cos t}\right|+\frac{\sin t}{\cos t}.$$

По условию $$t$$ лежит в первой четверти, значит $$0<t<\frac{\pi}{2}$$, поэтому

$$\cos t>0,\qquad \sin t>0.$$

Тогда

$$\left|\frac{1-\sin t}{\cos t}\right|=\frac{1-\sin t}{\cos t}.$$

Следовательно,

$$\frac{1-\sin t}{\cos t}+\frac{\sin t}{\cos t}=\frac{1}{\cos t}.$$

Ответ: $$\frac{1}{\cos t}$$.