Упр.14.30 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Зная, что $$\operatorname{ctg} t=a$$, найдите: а) $$2\sin^2 t+3\cos^2 t$$; б) $$2\sin^2 t-3\sin t\cos t-5\cos^2 t$$.

Так как $$\ctg t=a,$$ то

$$\ctg^2 t=a^2,\qquad 1+\ctg^2 t=\frac{1}{\sin^2 t}.$$

Отсюда

$$\sin^2 t=\frac{1}{1+a^2},\qquad \cos^2 t=\ctg^2 t\cdot \sin^2 t=\frac{a^2}{1+a^2},\qquad \sin t\cos t=\ctg t\cdot \sin^2 t=\frac{a}{1+a^2}.$$

а)

$$2\sin^2 t+3\cos^2 t=2\cdot \frac{1}{1+a^2}+3\cdot \frac{a^2}{1+a^2}=\frac{2+3a^2}{1+a^2}.$$

б)

$$2\sin^2 t-3\sin t\cos t-5\cos^2 t=2\cdot \frac{1}{1+a^2}-3\cdot \frac{a}{1+a^2}-5\cdot \frac{a^2}{1+a^2}=\frac{2-3a-5a^2}{1+a^2}.$$

Ответ: а) $$\frac{2+3a^2}{1+a^2}$$; б) $$\frac{2-3a-5a^2}{1+a^2}$$.