Упр.14.29 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Зная, что $$\operatorname{tg} t = a$$, найдите: а) $$\cos 4t$$; в) $$\sin 4t$$; б) $$\sin t \cos t$$; г) $$\sin 3t \cos t$$.

Пусть $$\tg t=a.$$ Тогда

1. $$\cos^2 t=\frac{1}{1+\tg^2 t}=\frac{1}{1+a^2},$$

   значит

   $$\cos^4 t=(\cos^2 t)^2=\left(\frac{1}{1+a^2}\right)^2=\frac{1}{(1+a^2)^2}.$$

2. $$\sin t\cos t=\tg t\cdot \cos^2 t=a\cdot \frac{1}{1+a^2}=\frac{a}{1+a^2}.$$

3. $$\sin^2 t=\frac{\tg^2 t}{1+\tg^2 t}=\frac{a^2}{1+a^2},$$

   поэтому

   $$\sin^4 t=(\sin^2 t)^2=\left(\frac{a^2}{1+a^2}\right)^2=\frac{a^4}{(1+a^2)^2}.$$

4. $$\sin^3 t\cos t=\sin^2 t\cdot \sin t\cos t=\frac{a^2}{1+a^2}\cdot \frac{a}{1+a^2}=\frac{a^3}{(1+a^2)^2}.$$

Ответ: а) $$\frac{1}{(1+a^2)^2}$$; б) $$\frac{a}{1+a^2}$$; в) $$\frac{a^4}{(1+a^2)^2}$$; г) $$\frac{a^3}{(1+a^2)^2}$$.