Упр.14.28 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

а) Обозначим $$x=\tg t.$$ Тогда

$$\frac{2\sin t\cdot \cos t}{\cos^2 t-\sin^2 t}=\frac34$$

умножим на $$4(\cos^2 t-\sin^2 t)$$:

$$8\sin t\cos t=3(\cos^2 t-\sin^2 t).$$

Делим на $$\sin^2 t$$:

$$8\frac{\cos t}{\sin t}=3\frac{\cos^2 t}{\sin^2 t}-3,$$

то есть

$$8\ctg t=3\ctg^2 t-3.$$

Пусть $$x=\ctg t$$. Тогда

$$3x^2-8x-3=0.$$

$$D=64+36=100,$$

$$x_{1,2}=\frac{8\pm 10}{6}.$$

Получаем:

$$x_1=3,\qquad x_2=-\frac13.$$

Так как $$\frac{\pi}{4}<t<\pi,$$ то значение $$\ctg t=3$$ не подходит, а при $$\frac{\pi}{2}<t<\pi$$ имеем $$\ctg t<0.$$ Следовательно,

$$\ctg t=-\frac13.$$

Ответ: $$-\frac13$$.

б) Обозначим $$x=\tg t.$$ Тогда

$$\frac{2\sin^2 t+3\sin t\cdot \cos t-\cos^2 t}{2\cos^2 t-\sin^2 t}=-\frac12.$$

Умножим на $$2(2\cos^2 t-\sin^2 t)$$:

$$2\bigl(2\sin^2 t+3\sin t\cos t-\cos^2 t\bigr)=-\bigl(2\cos^2 t-\sin^2 t\bigr).$$

После раскрытия скобок:

$$4\sin^2 t+6\sin t\cos t-2\cos^2 t=-2\cos^2 t+\sin^2 t,$$

$$3\sin^2 t+6\sin t\cos t=0.$$

Делим на $$\cos^2 t$$:

$$3\tg^2 t+6\tg t=0,$$

$$3\tg t(\tg t+2)=0.$$

Отсюда

$$\tg t=0 \quad \text{или} \quad \tg t=-2.$$

Так как $$-\frac{\pi}{4}<t<\frac{\pi}{2},$$ то значение $$\tg t=-2$$ не подходит, а $$\tg t=0$$ подходит. Значит,

$$\tg t=0.$$

Ответ: $$0$$.