Упр.14.25 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

а) Пусть $$\tg t=x.$$ Тогда из условия

$$x-\frac{1}{x}=-\frac{7}{12}.$$

Умножим на $$x$$:

$$x^2-1=-\frac{7x}{12},$$

$$12x^2+7x-12=0.$$

Найдём корни:

$$D=7^2-4\cdot 12\cdot(-12)=49+576=625,$$

$$x_{1,2}=\frac{-7\pm 25}{24}.$$

Получаем:

$$x_1=-\frac{4}{3}, \qquad x_2=\frac{3}{4}.$$

Так как $$0<t<\frac{\pi}{2},$$ то $$\tg t>0,$$ значит, подходит только

$$\tg t=\frac{3}{4}.$$

Тогда

$$\cos t=\frac{1}{\sqrt{1+\tg^2 t}}=\frac{1}{\sqrt{1+\left(\frac{3}{4}\right)^2}}=\frac{4}{5},$$

$$\sin t=\tg t\cdot \cos t=\frac{3}{4}\cdot \frac{4}{5}=\frac{3}{5}.$$

Следовательно,

$$\sin t+\cos t=\frac{3}{5}+\frac{4}{5}=\frac{7}{5}=1{,}4.$$

б) Пусть $$\tg t=x.$$ Тогда из условия

$$4\ctg t+6\tg t+11=0$$

получаем

$$\frac{4}{x}+6x+11=0,$$

$$4+6x^2+11x=0,$$

$$6x^2+11x+4=0.$$

Найдём корни:

$$D=11^2-4\cdot 6\cdot 4=121-96=25,$$

$$x_{1,2}=\frac{-11\pm 5}{12}.$$

Получаем:

$$x_1=-\frac{4}{3}, \qquad x_2=-\frac{1}{2}.$$

Так как $$\frac{5\pi}{2}<t<\frac{11\pi}{4},$$ то после вычитания $$2\pi$$ имеем

$$\frac{\pi}{2}<t<\frac{3\pi}{4},$$

то есть угол лежит во II четверти, где $$\tg t<0.$$

Значит, подходит

$$\tg t=-\frac{4}{3}.$$

Тогда

$$\cos t=-\frac{1}{\sqrt{1+\tg^2 t}}=-\frac{1}{\sqrt{1+\left(\frac{4}{3}\right)^2}}=-\frac{3}{5},$$

$$\sin t=\tg t\cdot \cos t=-\frac{4}{3}\cdot\left(-\frac{3}{5}\right)=\frac{4}{5}.$$

Следовательно,

$$2\sin t+\cos t=2\cdot \frac{4}{5}-\frac{3}{5}=\frac{5}{5}=1.$$

Ответ: а) $$1{,}4$$; б) $$1$$.