Упр.14.24 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Известно, что $$\sin t\cos t=-\frac{12}{49}$$. Вычислите:
   а) $$\operatorname{tg} t+\operatorname{ctg} t$$;
   б) $$\operatorname{tg}^2 t+\operatorname{ctg}^2 t$$.

Пусть $$\sin t \cdot \cos t=-\frac{12}{49}.$$

Ход решения

а) Найдём сумму:

$$\tg t+\ctg t=\frac{\sin t}{\cos t}+\frac{\cos t}{\sin t} =\frac{\sin^2 t+\cos^2 t}{\sin t\cdot \cos t} =\frac{1}{\sin t\cdot \cos t}.$$

Тогда

$$\tg t+\ctg t=\frac{1}{-\frac{12}{49}}=-\frac{49}{12}.$$

б) Используем формулу квадрата суммы:

$$(\tg t+\ctg t)^2=\tg^2 t+2\tg t\cdot \ctg t+\ctg^2 t.$$

Так как $$\tg t\cdot \ctg t=1,$$ то

$$\tg^2 t+\ctg^2 t=(\tg t+\ctg t)^2-2.$$

Подставим найденное значение:

$$\tg^2 t+\ctg^2 t=\left(-\frac{49}{12}\right)^2-2 =\frac{2401}{144}-\frac{288}{144} =\frac{2113}{144}.$$

Ответ

а) $$-\frac{49}{12}$$; б) $$\frac{2113}{144}$$.