Упр.14.23 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Известно, что $$\sin t\cos t=-0{,}5$$. Вычислите:

• а) $$\sin^2 t+\cos^2 t$$;
• в) $$\sin^6 t+\cos^6 t$$;
• б) $$\sin^4 t+\cos^4 t$$;
• г) $$\sin^8 t+\cos^8 t$$.

Используем тождество $$\sin^2 t+\cos^2 t=1$$ и дано $$\sin t\cos t=-0{,}5.$$

1. $$\sin^2 t+\cos^2 t=1.$$

2. $$\sin^4 t+\cos^4 t=(\sin^2 t+\cos^2 t)^2-2\sin^2 t\cos^2 t$$

   $$=1-2(\sin t\cos t)^2=1-2\cdot(-0{,}5)^2=1-2\cdot0{,}25=0{,}5.$$

3. $$\sin^6 t+\cos^6 t=(\sin^2 t+\cos^2 t)^3-3\sin^2 t\cos^2 t(\sin^2 t+\cos^2 t)$$

   $$=1-3\sin^2 t\cos^2 t=1-3(\sin t\cos t)^2=1-3\cdot0{,}25=0{,}25.$$

4. $$\sin^8 t+\cos^8 t=(\sin^4 t+\cos^4 t)^2-2\sin^4 t\cos^4 t$$

   $$=0{,}5^2-2(\sin t\cos t)^4=0{,}25-2\cdot0{,}0625=0{,}125.$$

Ответ: а) $$1$$; б) $$0{,}5$$; в) $$0{,}25$$; г) $$0{,}125$$.