Упр.14.22 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Известно, что $$\operatorname{tg} t+\operatorname{ctg} t=2{,}3$$. Вычислите:
   а) $$\operatorname{tg} 2t+\operatorname{ctg} 2t$$;
   б) $$\operatorname{tg} 3t+\operatorname{ctg} 3t$$.

Обозначим $$x=\tg t+\ctg t=2{,}3.$$

Тогда

$$x^2=\tg^2 t+\ctg^2 t+2\tg t\cdot \ctg t=\tg^2 t+\ctg^2 t+2,$$

так как $$\tg t\cdot \ctg t=1.$$

Следовательно,

$$\tg^2 t+\ctg^2 t=x^2-2=2{,}3^2-2=5{,}29-2=3{,}29.$$

Теперь найдём сумму кубов:

$$\tg^3 t+\ctg^3 t=(\tg t+\ctg t)\bigl(\tg^2 t-\tg t\cdot \ctg t+\ctg^2 t\bigr).$$

Подставим найденные значения:

$$\tg^3 t+\ctg^3 t=2{,}3\,(3{,}29-1)=2{,}3\cdot 2{,}29=5{,}267.$$

Ответ

а) $$3{,}29$$; б) $$5{,}267$$.