Упр.14.21 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Известно, что $$\sin t+\cos t=0{,}6$$. Вычислите: а) $$\sin 3t+\cos 3t$$; б) $$\operatorname{tg}t\sin t+\operatorname{ctg}t\cos t$$.

Используем формулу суммы кубов:

$$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2).$$

Пусть $$a=\sin t,$$ $$b=\cos t.$$ Тогда

$$\sin^2 t+\cos^2 t=1.$$

а)

Найдём сначала произведение $$\sin t\cos t$$:

$$(\sin t+\cos t)^2=\sin^2 t+2\sin t\cos t+\cos^2 t=1+2\sin t\cos t.$$

Так как $$\sin t+\cos t=0{,}6,$$ то

$$0{,}6^2=1+2\sin t\cos t,$$

$$0{,}36=1+2\sin t\cos t,$$

$$2\sin t\cos t=-0{,}64,$$

$$\sin t\cos t=-0{,}32.$$

Теперь вычислим:

$$\sin^3 t+\cos^3 t=(\sin t+\cos t)(\sin^2 t-\sin t\cos t+\cos^2 t)$$

$$=0{,}6\,(1-(-0{,}32))=0{,}6\cdot1{,}32=0{,}792.$$

б)

Преобразуем выражение:

$$\tg t\cdot \sin t+\ctg t\cdot \cos t =\frac{\sin t}{\cos t}\cdot \sin t+\frac{\cos t}{\sin t}\cdot \cos t =\frac{\sin^2 t}{\cos t}+\frac{\cos^2 t}{\sin t}.$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{\sin^3 t+\cos^3 t}{\sin t\cos t}.$$

Подставим найденные значения:

$$\frac{0{,}792}{-0{,}32}=-2{,}475.$$

Ответ: а) $$0{,}792$$; б) $$-2{,}475$$.