Упр.14.20 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) Известно, что $$\sin t+\cos t=0{,}8$$. Вычислите: $$\sin t\cos t$$.
   б) Известно, что $$\sin t-\cos t=\frac{1}{3}$$. Вычислите: $$9\sin t\cos t$$.

а) Возведём в квадрат сумму:

$$(\sin t+\cos t)^2=\sin^2 t+\cos^2 t+2\sin t\cos t=1+2\sin t\cos t.$$

Так как $$\sin t+\cos t=0{,}8,$$ то

$$0{,}8^2=1+2\sin t\cos t,$$

$$0{,}64=1+2\sin t\cos t,$$

$$2\sin t\cos t=-0{,}36,$$

$$\sin t\cos t=-0{,}18.$$

б) Возведём в квадрат разность:

$$(\sin t-\cos t)^2=\sin^2 t+\cos^2 t-2\sin t\cos t=1-2\sin t\cos t.$$

Так как $$\sin t-\cos t=\frac13,$$ то

$$\left(\frac13\right)^2=1-2\sin t\cos t,$$

$$\frac19=1-2\sin t\cos t,$$

$$2\sin t\cos t=\frac89,$$

$$\sin t\cos t=\frac49.$$

Тогда

$$9\sin t\cos t=9\cdot \frac49=4.$$

Ответ: а) $$-0{,}18$$; б) $$4$$.