Упр.14.15 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Используем тождество $$\sin^2 t+\cos^2 t=1,$$ откуда

$$\sin t=\pm\sqrt{1-\cos^2 t}.$$

Знак выбираем по четверти, в которой находится угол $$t$$.

1. $$\cos t=0{,}8,\quad 0<t<\frac{\pi}{2}.$$

   Угол лежит в первой четверти, значит $$\sin t>0$$:

   $$\sin t=\sqrt{1-0{,}8^2}=\sqrt{1-0{,}64}=\sqrt{0{,}36}=0{,}6.$$

   Тогда

   $$\tg t=\frac{\sin t}{\cos t}=\frac{0{,}6}{0{,}8}=\frac{3}{4},\qquad \ctg t=\frac{1}{\tg t}=\frac{4}{3}.$$

2. $$\cos t=-\frac{5}{13},\quad \frac{\pi}{2}<t<\pi.$$

   Угол лежит во второй четверти, значит $$\sin t>0$$:

   $$\sin t=\sqrt{1-\left(-\frac{5}{13}\right)^2}=\sqrt{1-\frac{25}{169}}=\sqrt{\frac{144}{169}}=\frac{12}{13}.$$

   Тогда

   $$\tg t=\frac{\sin t}{\cos t}=\frac{12}{13}:\left(-\frac{5}{13}\right)=-\frac{12}{5},\qquad \ctg t=\frac{1}{\tg t}=-\frac{5}{12}.$$

3. $$\cos t=0{,}6,\quad \frac{3\pi}{2}<t<2\pi.$$

   Угол лежит в четвертой четверти, значит $$\sin t<0$$:

   $$\sin t=-\sqrt{1-0{,}6^2}=-\sqrt{1-0{,}36}=-\sqrt{0{,}64}=-0{,}8.$$

   Тогда

   $$\tg t=\frac{\sin t}{\cos t}=\frac{-0{,}8}{0{,}6}=-\frac{4}{3},\qquad \ctg t=\frac{1}{\tg t}=-\frac{3}{4}.$$

4. $$\cos t=-\frac{24}{25},\quad \pi<t<\frac{3\pi}{2}.$$

   Угол лежит в третьей четверти, значит $$\sin t<0$$:

   $$\sin t=-\sqrt{1-\left(-\frac{24}{25}\right)^2}=-\sqrt{1-\frac{576}{625}}=-\sqrt{\frac{49}{625}}=-\frac{7}{25}.$$

   Тогда

   $$\tg t=\frac{\sin t}{\cos t}=\frac{-7/25}{-24/25}=\frac{7}{24},\qquad \ctg t=\frac{1}{\tg t}=\frac{24}{7}.$$

Ответ: а) $$\sin t=0{,}6,\ \tg t=\frac{3}{4},\ \ctg t=\frac{4}{3};$$ б) $$\sin t=\frac{12}{13},\ \tg t=-\frac{12}{5},\ \ctg t=-\frac{5}{12};$$ в) $$\sin t=-0{,}8,\ \tg t=-\frac{4}{3},\ \ctg t=-\frac{3}{4};$$ г) $$\sin t=-\frac{7}{25},\ \tg t=\frac{7}{24},\ \ctg t=\frac{24}{7}.$$