Упр.14.13 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$\frac{(\sin t+\cos t)^2-1}{\ctg t-\sin t\cdot\cos t}$$

Преобразуем числитель и знаменатель:

$$(\sin t+\cos t)^2-1=\sin^2 t+2\sin t\cos t+\cos^2 t-1=2\sin t\cos t,$$

$$\ctg t-\sin t\cos t=\frac{\cos t}{\sin t}-\sin t\cos t =\frac{\cos t-\sin^2 t\cos t}{\sin t} =\frac{\cos t(1-\sin^2 t)}{\sin t} =\frac{\cos^3 t}{\sin t}.$$

Тогда

$$\frac{(\sin t+\cos t)^2-1}{\ctg t-\sin t\cdot\cos t} =\frac{2\sin t\cos t}{\cos^3 t/\sin t} =\frac{2\sin^2 t}{\cos^2 t} =2\tg^2 t.$$

Тождество доказано.

б) $$\sin^3 t\,(1+\ctg t)+\cos^3 t\,(1+\tg t)$$

Преобразуем левую часть:

$$\sin^3 t\left(1+\frac{\cos t}{\sin t}\right)+\cos^3 t\left(1+\frac{\sin t}{\cos t}\right)$$

$$=\sin^3 t\cdot\frac{\sin t+\cos t}{\sin t}+\cos^3 t\cdot\frac{\cos t+\sin t}{\cos t}$$

$$=\sin^2 t(\sin t+\cos t)+\cos^2 t(\cos t+\sin t)$$

$$=(\sin t+\cos t)(\sin^2 t+\cos^2 t)=\sin t+\cos t.$$

Тождество доказано.

в) $$\frac{(\sin t+\cos t)^2-1}{\tg t-\sin t\cdot\cos t}=2\ctg^2 t$$

Преобразуем левую часть:

$$\frac{(\sin t+\cos t)^2-1}{\tg t-\sin t\cdot\cos t} =\frac{2\sin t\cos t}{\frac{\sin t}{\cos t}-\sin t\cos t}$$

$$=\frac{2\sin t\cos t}{\frac{\sin t-\sin t\cos^2 t}{\cos t}} =\frac{2\sin t\cos^2 t}{\sin t(1-\cos^2 t)} =\frac{2\cos^2 t}{1-\cos^2 t}$$

$$=\frac{2\cos^2 t}{\sin^2 t}=2\ctg^2 t.$$

Тождество доказано.

г) $$\frac{1-4\sin^2 t\cdot\cos^2 t}{(\sin t+\cos t)^2}+2\sin t\cdot\cos t=1$$

Преобразуем левую часть:

$$\frac{1-4\sin^2 t\cos^2 t}{(\sin t+\cos t)^2}+2\sin t\cos t =\frac{1-4\sin^2 t\cos^2 t}{\sin^2 t+\cos^2 t+2\sin t\cos t}+2\sin t\cos t$$

$$=\frac{1-4\sin^2 t\cos^2 t}{1+2\sin t\cos t}+2\sin t\cos t$$

$$=\frac{(1-2\sin t\cos t)(1+2\sin t\cos t)}{1+2\sin t\cos t}+2\sin t\cos t$$

$$=1-2\sin t\cos t+2\sin t\cos t=1.$$

Тождество доказано.