Упр.14.12 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
а) $$1+\sin t=\frac{\cos t+\ctg t}{\ctg t}$$
Преобразуем правую часть:
$$\frac{\cos t+\ctg t}{\ctg t} = \frac{\cos t+\frac{\cos t}{\sin t}}{\frac{\cos t}{\sin t}} = \frac{\cos t\left(1+\frac{1}{\sin t}\right)}{\frac{\cos t}{\sin t}} = \left(1+\frac{1}{\sin t}\right)\sin t = 1+\sin t.$$
Тождество доказано.
б) $$\frac{\sin t+\tg t}{\tg t}=1+\cos t$$
Преобразуем левую часть:
$$\frac{\sin t+\tg t}{\tg t} = \frac{\sin t+\frac{\sin t}{\cos t}}{\frac{\sin t}{\cos t}} = \frac{\sin t\left(1+\frac{1}{\cos t}\right)}{\frac{\sin t}{\cos t}} = \left(1+\frac{1}{\cos t}\right)\cos t = 1+\cos t.$$
Тождество доказано.
в) $$\frac{1-\sin t}{\cos t}=\frac{\cos t}{1+\sin t}$$
Преобразуем левую часть:
$$\frac{1-\sin t}{\cos t} = \frac{(1-\sin t)(1+\sin t)}{\cos t(1+\sin t)} = \frac{1-\sin^2 t}{\cos t(1+\sin t)} = \frac{\cos^2 t}{\cos t(1+\sin t)} = \frac{\cos t}{1+\sin t}.$$
Тождество доказано.
г) $$\frac{\sin t}{1-\cos t}=\frac{1+\cos t}{\sin t}$$
Преобразуем левую часть:
$$\frac{\sin t}{1-\cos t} = \frac{\sin t(1+\cos t)}{(1-\cos t)(1+\cos t)} = \frac{\sin t(1+\cos t)}{1-\cos^2 t} = \frac{\sin t(1+\cos t)}{\sin^2 t} = \frac{1+\cos t}{\sin t}.$$
Тождество доказано.
