Упр.14.11 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
а) $$\frac{\tg t}{\tg t+\ctg t}=\frac{\frac{\sin t}{\cos t}}{\frac{\sin t}{\cos t}+\frac{\cos t}{\sin t}}=\frac{\sin t}{\cos t}\cdot\frac{\sin t\cos t}{\sin^2 t+\cos^2 t}=\sin^2 t.$$
Тождество доказано.
б) $$\frac{1+\tg t}{1+\ctg t}=\frac{1+\frac{\sin t}{\cos t}}{1+\frac{\cos t}{\sin t}}=\frac{\sin t+\cos t}{\cos t}\cdot\frac{\sin t}{\sin t+\cos t}=\frac{\sin t}{\cos t}=\tg t.$$
Тождество доказано.
в) $$\frac{\ctg t}{\tg t+\ctg t}=\frac{\frac{\cos t}{\sin t}}{\frac{\sin t}{\cos t}+\frac{\cos t}{\sin t}}=\frac{\cos t}{\sin t}\cdot\frac{\sin t\cos t}{\sin^2 t+\cos^2 t}=\cos^2 t.$$
Тождество доказано.
г) $$\frac{1-\ctg t}{1-\tg t}=\frac{1-\frac{\cos t}{\sin t}}{1-\frac{\sin t}{\cos t}}=\frac{\sin t-\cos t}{\sin t}\cdot\frac{\cos t}{\cos t-\sin t}=-\frac{\cos t}{\sin t}=-\ctg t.$$
Тождество доказано.
Ответ
а) $$\sin^2 t$$; б) $$\tg t$$; в) $$\cos^2 t$$; г) $$-\ctg t$$.
