Упр.14.10 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

а)

$$(3\sin t+4\cos t)^2+(4\sin t-3\cos t)^2$$
$$= \left(9\sin^2 t+24\sin t\cos t+16\cos^2 t\right) +\left(16\sin^2 t-24\sin t\cos t+9\cos^2 t\right)$$
$$=25\sin^2 t+25\cos^2 t=25(\sin^2 t+\cos^2 t)=25.$$

б)

$$(\tg t+\ctg t)^2-(\tg t-\ctg t)^2$$
$$=\left(\tg^2 t+2\tg t\cdot \ctg t+\ctg^2 t\right) -\left(\tg^2 t-2\tg t\cdot \ctg t+\ctg^2 t\right)$$
$$=4\tg t\cdot \ctg t=4\cdot 1=4.$$

в)

$$\sin t\cos t\cdot(\tg t+\ctg t) =\sin t\cos t\cdot\left(\frac{\sin t}{\cos t}+\frac{\cos t}{\sin t}\right)$$
$$=\sin^2 t+\cos^2 t=1.$$

г)

$$\sin^2 t\cos^2 t\cdot(\tg^2 t+\ctg^2 t+2)$$
$$=\sin^2 t\cos^2 t\cdot\left(\frac{\sin^2 t}{\cos^2 t}+\frac{\cos^2 t}{\sin^2 t}+2\right)$$
$$=\sin^4 t+\cos^4 t+2\sin^2 t\cos^2 t$$
$$=(\sin^2 t+\cos^2 t)^2=1.$$

Ответ: а) $$25$$; б) $$4$$; в) $$1$$; г) $$1$$.