Упр.13.54 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Положим $$x=\tg \frac{17}{7}.$$ Тогда

$$\cos^{-2}\frac{17}{7}=1+\tg^2\frac{17}{7}=1+x^2,$$

и неравенство принимает вид

$$0<x+1+x^2<1.$$

Так как $$\frac{17}{7}\approx 2{,}42,$$ а $$\frac{3\pi}{4}\approx 2{,}35,$$ то

$$\frac{3\pi}{4}<\frac{17}{7}<\pi,$$

следовательно, $$\tg \frac{17}{7}<0.$$ Кроме того, $$\frac{17}{7}$$ лежит во II четверти, значит

$$-1<\tg \frac{17}{7}<0,$$

то есть

$$-1<x<0.$$

Проверим границы неравенства:

$$x+1+x^2=(x+1)+x^2>0,$$

так как при $$-1<x<0$$ имеем $$x+1>0$$ и $$x^2>0.$$

Далее

$$1-(x+1+x^2)=-(x+x^2)=-x(1+x)>0,$$

поскольку $$x<0$$ и $$1+x>0.$$ Значит,

$$x+1+x^2<1.$$

Оба неравенства доказаны.

Ответ: $$0<\tg \frac{17}{7}+\cos^{-2}\frac{17}{7}<1.$$