Упр.13.53 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
- а) $$1<\sin t+\cos 2t<1{,}25$$;
б) $$2<2\sin^2 1{,}2+\cos 1{,}2<\frac{17}{18}$$.
Положим $$x=\sin 1.$$ Тогда $$0<x<1$$ и $$\cos^2 1=1-\sin^2 1=1-x^2.$$
Тогда неравенство
$$1<\sin 1+\cos^2 1<1{,}25$$
примет вид
$$1<x+1-x^2<1{,}25.$$
Докажем обе части двойного неравенства.
Левая часть:
$$\left(x+1-x^2\right)-1=x-x^2=x(1-x).$$
Так как $$0<x<1,$$ то $$x(1-x)>0,$$ значит,
$$x+1-x^2>1.$$
Правая часть:
$$1{,}25-\left(x+1-x^2\right)=0{,}25-x+x^2=\left(x-\frac12\right)^2.$$
Так как $$\sin 1\ne \sin \frac{\pi}{6}=\frac12,$$ то $$x\ne \frac12,$$ следовательно,
$$\left(x-\frac12\right)^2>0,$$
то есть
$$x+1-x^2<1{,}25.$$
Обе части неравенства доказаны.
Аналогично, положим $$x=\cos 1{,}2.$$ Тогда $$0<x<1$$ и $$\sin^2 1{,}2=1-\cos^2 1{,}2=1-x^2.$$
Получаем неравенство
$$2<2\sin^2 1{,}2+\cos 1{,}2<\frac{17}{8},$$
то есть
$$2<2(1-x^2)+x<\frac{17}{8}.$$
Левая часть:
$$\left(2-2x^2+x\right)-2=x-2x^2=x(1-2x).$$
Так как $$1{,}2\in\left(\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{2}\right),$$ то $$\cos 1{,}2\in\left(0,\frac12\right),$$ значит, $$x>0$$ и $$1-2x<0.$$ Следовательно,
$$x(1-2x)>0,$$
то есть
$$2-2x^2+x>2.$$
Правая часть:
$$\frac{17}{8}-\left(2-2x^2+x\right)=2x^2-x+\frac18=\frac12\left(2x-\frac12\right)^2.$$
Так как $$\cos 1{,}2\ne \frac14,$$ то
$$\frac12\left(2x-\frac12\right)^2>0,$$
следовательно,
$$2-2x^2+x<\frac{17}{8}.$$
Обе части неравенства доказаны.
Ответ: оба неравенства верны.
