Упр.13.51 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
Решите неравенство:
- а) $$\sin t \cdot \cos t > 0$$;
- в) $$\operatorname{ctg} t \cdot \cos t < 0$$;
- б) $$\sin t \cdot \operatorname{tg} t < 0$$;
- г) $$\operatorname{tg} t \cdot \operatorname{ctg} t > 0$$.
Рассмотрим знаки множителей и учтём, где выражения определены.
а) $$\sin t\cdot \cos t>0$$
Произведение положительно, когда оба множителя одного знака:
$$\sin t>0,\ \cos t>0 \quad \text{или} \quad \sin t<0,\ \cos t<0.$$
Это соответствует I и III четвертям, не включая оси:
$$\pi n<t<\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
б) $$\sin t\cdot \tg t<0$$
Подставим $$\tg t=\dfrac{\sin t}{\cos t}$$:
$$\sin t\cdot \frac{\sin t}{\cos t}<0 \quad \Longrightarrow \quad \frac{\sin^2 t}{\cos t}<0.$$
Так как $$\sin^2 t\ge 0$$, неравенство возможно только при $$\sin t\ne 0$$ и $$\cos t<0$$. Значит,
$$\frac{\pi}{2}+2\pi n<t<\frac{3\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$
но точки $$t=\pi n$$ исключаются, так как там $$\sin t=0$$ и исходное произведение равно нулю. Поэтому
$$\frac{\pi}{2}+2\pi n<t<\pi+2\pi n \quad \text{или} \quad \pi+2\pi n<t<\frac{3\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
в) $$\ctg t\cdot \cos t<0$$
Подставим $$\ctg t=\dfrac{\cos t}{\sin t}$$:
$$\frac{\cos t}{\sin t}\cdot \cos t<0 \quad \Longrightarrow \quad \frac{\cos^2 t}{\sin t}<0.$$
Так как $$\cos^2 t\ge 0$$, нужно, чтобы $$\sin t<0$$ и $$\cos t\ne 0$$. Тогда
$$\pi+2\pi n<t<2\pi+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$
но точки $$t=\frac{3\pi}{2}+2\pi n$$ исключаются, так как там $$\cos t=0$$. Следовательно,
$$\pi+2\pi n<t<\frac{3\pi}{2}+2\pi n \quad \text{или} \quad \frac{3\pi}{2}+2\pi n<t<2\pi+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
г) $$\tg t\cdot \ctg t>0$$
Имеем
$$\tg t\cdot \ctg t= \frac{\sin t}{\cos t}\cdot \frac{\cos t}{\sin t}=1,$$
если $$\sin t\ne 0$$ и $$\cos t\ne 0$$. Значит, неравенство выполняется при всех таких $$t$$, а точки, где $$\sin t=0$$ или $$\cos t=0$$, исключаются:
$$t\ne \frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$
Ответ:
а) $$\pi n<t<\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$;
б) $$\frac{\pi}{2}+2\pi n<t<\pi+2\pi n$$ или $$\pi+2\pi n<t<\frac{3\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$;
в) $$\pi+2\pi n<t<\frac{3\pi}{2}+2\pi n$$ или $$\frac{3\pi}{2}+2\pi n<t<2\pi+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$;
г) $$t\ne \frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb Z$$.
