Упр.13.43 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

а)

$$\sqrt{\sin^2 5-2\sin 5\cdot \sin \frac{11\pi}{6}+\sin^2 \frac{11\pi}{6}} -\sqrt{\sin^2 \frac{5\pi}{6}-2\sin \frac{5\pi}{6}\cdot \sin 5+\sin^2 5}$$
$$=\sqrt{\left(\sin 5-\sin \frac{11\pi}{6}\right)^2} -\sqrt{\left(\sin \frac{5\pi}{6}-\sin 5\right)^2}$$
$$=\left|\sin 5-\sin \frac{11\pi}{6}\right| -\left|\sin \frac{5\pi}{6}-\sin 5\right|.$$

Так как $$\sin \frac{11\pi}{6}=-\frac12$$, $$\sin \frac{5\pi}{6}=\frac12$$, а число $$5$$ лежит в IV четверти, то $$\sin 5<0$$. Тогда
$$\left|\sin 5-\sin \frac{11\pi}{6}\right| =\left|\sin 5+\frac12\right| =-\sin 5-\frac12,$$
$$\left|\sin \frac{5\pi}{6}-\sin 5\right| =\left|\frac12-\sin 5\right| =\frac12-\sin 5.$$
Следовательно,
$$-\sin 5-\frac12-\left(\frac12-\sin 5\right)=-1.$$

б)

$$\sqrt{\cos^2 4-2\cos 4\cdot \cos \frac{2\pi}{3}+\cos^2 \frac{2\pi}{3}} +\sqrt{\cos^2 4-2\cos 4\cdot \cos \frac{\pi}{3}+\cos^2 \frac{\pi}{3}}$$
$$=\sqrt{\left(\cos 4-\cos \frac{2\pi}{3}\right)^2} +\sqrt{\left(\cos 4-\cos \frac{\pi}{3}\right)^2}$$
$$=\left|\cos 4-\cos \frac{2\pi}{3}\right| +\left|\cos 4-\cos \frac{\pi}{3}\right|.$$

Так как $$\cos \frac{2\pi}{3}=-\frac12$$, $$\cos \frac{\pi}{3}=\frac12$$, а число $$4$$ лежит в III четверти, то $$\cos 4<0$$. Поэтому
$$\left|\cos 4-\cos \frac{2\pi}{3}\right| =\left|\cos 4+\frac12\right| =-\cos 4-\frac12,$$
$$\left|\cos 4-\cos \frac{\pi}{3}\right| =\left|\cos 4-\frac12\right| =-\cos 4+\frac12.$$
Тогда
$$-\cos 4-\frac12-\cos 4+\frac12=-2\cos 4.$$

Ответ: а) $$-1$$; б) $$-2\cos 4$$.