Упр.13.38 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

а) Упорядочим значения синуса по возрастанию.

Углы $$\frac{\pi}{7},\ \frac{\pi}{5},\ \frac{2\pi}{3}$$ лежат в I и II четвертях, поэтому $$\sin t>0$$, а углы $$\frac{7\pi}{6},\ \frac{4\pi}{3}$$ — в III четверти, где $$\sin t<0$$.

Значит, сначала идут отрицательные значения, затем положительные. Среди положительных сравним расстояния до точки максимума $$\frac{\pi}{2}$$:

$$\left|\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{7}\right|=\frac{5\pi}{14},\quad \left|\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{5}\right|=\frac{3\pi}{10},\quad \left|\frac{\pi}{2}-\frac{2\pi}{3}\right|=\frac{\pi}{6}.$$

Чем меньше это расстояние, тем больше значение синуса. Поэтому

$$\sin \frac{4\pi}{3}<\sin \frac{7\pi}{6}<\sin \frac{\pi}{7}<\sin \frac{\pi}{5}<\sin \frac{2\pi}{3}.$$

б) Упорядочим значения косинуса по возрастанию.

Углы $$\frac{\pi}{8},\ \frac{\pi}{3}$$ лежат в I четверти, где $$\cos t>0$$; угол $$\frac{5\pi}{6}$$ — во II четверти, а углы $$\frac{5\pi}{4},\ \frac{7\pi}{4}$$ — в III и IV четвертях соответственно.

Сравним значения косинуса по знаку и по расстоянию до точки максимума $$0$$ на числовой окружности:

$$\left|0-\frac{\pi}{8}\right|=\frac{\pi}{8},\quad \left|0-\frac{\pi}{3}\right|=\frac{\pi}{3},\quad \left|\pi-\frac{5\pi}{6}\right|=\frac{\pi}{6},\quad \left|\pi-\frac{5\pi}{4}\right|=\frac{\pi}{4},\quad \left|2\pi-\frac{7\pi}{4}\right|=\frac{\pi}{4}.$$

Тогда по возрастанию:

$$\cos \frac{5\pi}{6}<\cos \frac{5\pi}{4}<\cos \frac{\pi}{3}<\cos \frac{7\pi}{4}<\cos \frac{\pi}{8}.$$

Ответ: а) $$\sin \frac{4\pi}{3};\ \sin \frac{7\pi}{6};\ \sin \frac{\pi}{7};\ \sin \frac{\pi}{5};\ \sin \frac{2\pi}{3}$$; б) $$\cos \frac{5\pi}{6};\ \cos \frac{5\pi}{4};\ \cos \frac{\pi}{3};\ \cos \frac{7\pi}{4};\ \cos \frac{\pi}{8}$$.