Упр.13.28 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Докажите тождество: а) $$1+\tg^2 t=\frac{1}{\cos^2 t}$$; в) $$\sin^2 t(1+\ctg^2 t)=1$$; б) $$1+\ctg^2 t=\frac{1}{\sin^2 t}$$; г) $$\cos^2 t(1+\tg^2 t)=1$$.

Преобразуем левую часть каждого равенства, используя формулы $$\tg^2 t=\dfrac{\sin^2 t}{\cos^2 t}$$ и $$\ctg^2 t=\dfrac{\cos^2 t}{\sin^2 t}$$, а также тождество $$\sin^2 t+\cos^2 t=1.$$

1. $$1+\tg^2 t=1+\dfrac{\sin^2 t}{\cos^2 t}=\dfrac{\cos^2 t+\sin^2 t}{\cos^2 t}=\dfrac{1}{\cos^2 t}=\cos^{-2} t.$$

2. $$1+\ctg^2 t=1+\dfrac{\cos^2 t}{\sin^2 t}=\dfrac{\sin^2 t+\cos^2 t}{\sin^2 t}=\dfrac{1}{\sin^2 t}=\sin^{-2} t.$$

3. $$\sin^2 t\,(1+\ctg^2 t)=\sin^2 t\left(1+\dfrac{\cos^2 t}{\sin^2 t}\right)=\sin^2 t+\cos^2 t=1.$$

4. $$\cos^2 t\,(1+\tg^2 t)=\cos^2 t\left(1+\dfrac{\sin^2 t}{\cos^2 t}\right)=\cos^2 t+\sin^2 t=1.$$

Все тождества доказаны.