Упр.13.10 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

а) Так как $$-1 \le \sin t \le 1,$$ то $$0 \le |\sin t| \le 1.$$

Тогда

$$0 \le 2|\sin t| \le 2,$$

$$3 \le 2|\sin t|+3 \le 5.$$

Следовательно,

$$3 \le \frac{15}{2|\sin t|+3} \le 5.$$

Значит, наименьшее значение равно $$3,$$ а наибольшее — $$5.$$

б) Так как $$-1 \le \cos t \le 1,$$ то $$0 \le \cos^2 t \le 1.$$

Тогда

$$9 \le 7\cos^2 t+9 \le 16,$$

и, значит,

$$3 \le \sqrt{7\cos^2 t+9} \le 4.$$

Следовательно, наименьшее значение равно $$3,$$ а наибольшее — $$4.$$

в) Используем тождество $$\sin^2 t+\cos^2 t=1$$:

$$\frac{1}{3\sin^2 t+4\cos^2 t}=\frac{1}{\cos^2 t+3(\sin^2 t+\cos^2 t)}=\frac{1}{\cos^2 t+3}.$$

Так как $$0 \le \cos^2 t \le 1,$$ то

$$3 \le \cos^2 t+3 \le 4.$$

Следовательно,

$$\frac14 \le \frac{1}{\cos^2 t+3} \le \frac13.$$

Значит, наименьшее значение равно $$\frac14,$$ а наибольшее — $$\frac13.$$

г) Преобразуем выражение:

$$\frac{5\sin^2 t+5\cos^2 t}{3|\cos t|+2}=\frac{5(\sin^2 t+\cos^2 t)}{3|\cos t|+2}=\frac{5}{3|\cos t|+2}.$$

Так как $$-1 \le \cos t \le 1,$$ то $$0 \le |\cos t| \le 1,$$ значит

$$2 \le 3|\cos t|+2 \le 5.$$

Тогда

$$1 \le \frac{5}{3|\cos t|+2} \le \frac52.$$

Следовательно, наименьшее значение равно $$1,$$ а наибольшее — $$2{,}5.$$

Ответ: а) $$3$$ и $$5$$; б) $$3$$ и $$4$$; в) $$\frac14$$ и $$\frac13$$; г) $$1$$ и $$2{,}5$$.