Упр.123 Повторение ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Три числа составляют геометрическую прогрессию. Если к первому из них прибавить 25, второе оставить без изменения, а третье разделить на 3, то получатся три числа арифметической прогрессии. Найдите данные числа, если второе число равно 60.

Пусть $$b_1,\; b_2,\; b_3$$ — члены геометрической прогрессии, причём $$b_2=60$$.

По свойству геометрической прогрессии:

$$b_2^2=b_1b_3,$$

то есть

$$3600=b_1b_3.$$

После преобразований получаем арифметическую прогрессию:

$$a_1=b_1+25,\quad a_2=60,\quad a_3=\frac{b_3}{3}.$$

Для арифметической прогрессии средний член равен среднему арифметическому крайних:

$$60=\frac{(b_1+25)+\frac{b_3}{3}}{2}.$$

Тогда

$$120=b_1+25+\frac{b_3}{3},$$

$$b_1=95-\frac{b_3}{3}.$$

Подставим в равенство $$b_1b_3=3600$$:

$$\left(95-\frac{b_3}{3}\right)b_3=3600,$$

$$95b_3-\frac{b_3^2}{3}=3600,$$

$$b_3^2-285b_3+10800=0.$$

Решим квадратное уравнение:

$$D=285^2-4\cdot10800=38025,$$

$$\sqrt{D}=195.$$

Тогда

$$b_3=\frac{285-195}{2}=45 \quad \text{или} \quad b_3=\frac{285+195}{2}=240.$$

Найдём $$b_1$$:

если $$b_3=45,$$ то

$$b_1=\frac{3600}{45}=80;$$

если $$b_3=240,$$ то

$$b_1=\frac{3600}{240}=15.$$

Следовательно, искомые числа:

$$80,\;60,\;45$$ или $$15,\;60,\;240.$$

Ответ: $$80,\;60,\;45$$ или $$15,\;60,\;240$$.