Упр.12.24 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Для точек единичной окружности используем связь $$y=\sin t.$$ Тогда нужные значения $$t$$ находим по ординате точки пересечения с окружностью и учитываем, какая дуга задаёт неравенство.

1. $$y>-\frac{\sqrt{3}}{2}$$

   Граница дуги проходит через точки с ординатой $$-\frac{\sqrt{3}}{2}$$, то есть при

   $$t=-\frac{\pi}{3}+2\pi n \quad \text{и} \quad t=\frac{4\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

   Следовательно,

   $$-\frac{\pi}{3}+2\pi n<t<\frac{4\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

2. $$y<\frac{\sqrt{2}}{2}$$

   Граница дуги проходит через точки с ординатой $$\frac{\sqrt{2}}{2}$$, то есть при

   $$t=-\frac{5\pi}{4}+2\pi n \quad \text{и} \quad t=\frac{\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

   Тогда

   $$-\frac{5\pi}{4}+2\pi n<t<\frac{\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

3. $$y<-\frac{\sqrt{2}}{2}$$

   Граница дуги проходит через точки с ординатой $$-\frac{\sqrt{2}}{2}$$, то есть при

   $$t=\frac{5\pi}{4}+2\pi n \quad \text{и} \quad t=\frac{7\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

   Следовательно,

   $$\frac{5\pi}{4}+2\pi n<t<\frac{7\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

4. $$y>-\frac{1}{2}$$

   Граница дуги проходит через точки с ординатой $$-\frac{1}{2}$$, то есть при

   $$t=-\frac{\pi}{6}+2\pi n \quad \text{и} \quad t=\frac{7\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

   Тогда

   $$-\frac{\pi}{6}+2\pi n<t<\frac{7\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

Ответ:

а) $$-\frac{\pi}{3}+2\pi n<t<\frac{4\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z};$$
б) $$-\frac{5\pi}{4}+2\pi n<t<\frac{\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z};$$
в) $$\frac{5\pi}{4}+2\pi n<t<\frac{7\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z};$$
г) $$-\frac{\pi}{6}+2\pi n<t<\frac{7\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$