Упр.12.23 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим значения аргумента $$t$$, при которых соответствующая точка единичной окружности попадает в нужную часть окружности.

а) $$y>0$$

Верхняя полуокружность соответствует углам между точками $$t=0$$ и $$t=\pi$$, то есть

$$2\pi n<t<\pi+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

б) $$y<\frac12$$

Прямая $$y=\frac12$$ пересекает единичную окружность в точках с аргументами $$\frac{\pi}{6}$$ и $$\frac{5\pi}{6}$$. Поэтому искомая дуга лежит вне верхнего отрезка между этими точками:

$$-\frac{7\pi}{6}+2\pi n<t<\frac{\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

в) $$y>\frac12$$

Это дуга между точками с аргументами $$\frac{\pi}{6}$$ и $$\frac{5\pi}{6}$$:

$$\frac{\pi}{6}+2\pi n<t<\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

г) $$y<0$$

Нижняя полуокружность соответствует углам между $$\pi$$ и $$2\pi$$, то есть

$$-\pi+2\pi n<t<2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

Ответ

$$\begin{aligned} &\text{а) } 2\pi n<t<\pi+2\pi n, \quad n\in\mathbb{Z};\\ &\text{б) } -\frac{7\pi}{6}+2\pi n<t<\frac{\pi}{6}+2\pi n, \quad n\in\mathbb{Z};\\ &\text{в) } \frac{\pi}{6}+2\pi n<t<\frac{5\pi}{6}+2\pi n, \quad n\in\mathbb{Z};\\ &\text{г) } -\pi+2\pi n<t<2\pi n, \quad n\in\mathbb{Z}. \end{aligned}$$