Упр.12.21 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Найдите на числовой окружности все точки с абсциссой или ординатой, удовлетворяющей заданному неравенству или системе неравенств, и запишите (с помощью двойного неравенства), каким числам $$t$$ они соответствуют: а) $$x>0$$; б) $$x<\frac{1}{2}$$; в) $$x>\frac{1}{2}$$; г) $$x<0$$.

Рассмотрим точки числовой окружности, для которых координата $$x$$ удовлетворяет заданному неравенству. Для каждой такой дуги запишем соответствующие значения параметра $$t$$.

1. $$x>0$$

   Это правая полуокружность, не включая точки с абсциссой $$0$$. Границы дуги соответствуют точкам $$t=-\dfrac{\pi}{2}$$ и $$t=\dfrac{\pi}{2}$$.

   $$-\dfrac{\pi}{2}+2\pi n<t<\dfrac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

2. $$x<\dfrac{1}{2}$$

   Границы дуги соответствуют точкам с абсциссой $$\dfrac{1}{2}$$: $$t=\dfrac{\pi}{3}$$ и $$t=\dfrac{5\pi}{3}$$.

   $$\dfrac{\pi}{3}+2\pi n<t<\dfrac{5\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

3. $$x>\dfrac{1}{2}$$

   Это дуга между точками $$t=-\dfrac{\pi}{3}$$ и $$t=\dfrac{\pi}{3}$$.

   $$-\dfrac{\pi}{3}+2\pi n<t<\dfrac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

4. $$x<0$$

   Это левая полуокружность, не включая точки с абсциссой $$0$$. Границы дуги соответствуют точкам $$t=\dfrac{\pi}{2}$$ и $$t=\dfrac{3\pi}{2}$$.

   $$\dfrac{\pi}{2}+2\pi n<t<\dfrac{3\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

Ответ:

$$\begin{aligned} &\text{а) } -\dfrac{\pi}{2}+2\pi n<t<\dfrac{\pi}{2}+2\pi n,\\ &\text{б) } \dfrac{\pi}{3}+2\pi n<t<\dfrac{5\pi}{3}+2\pi n,\\ &\text{в) } -\dfrac{\pi}{3}+2\pi n<t<\dfrac{\pi}{3}+2\pi n,\\ &\text{г) } \dfrac{\pi}{2}+2\pi n<t<\dfrac{3\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}. \end{aligned}$$