Упр.12.20 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим каждое уравнение на единичной окружности.

а)

$$y=x$$

На окружности этому условию соответствуют точки

$$M_1\left(\frac{\sqrt2}{2};\frac{\sqrt2}{2}\right), \quad M_2\left(-\frac{\sqrt2}{2};-\frac{\sqrt2}{2}\right).$$

Им соответствуют углы

$$t_1=\frac{\pi}{4}+2\pi n,\quad t_2=\frac{5\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Значит,

$$t=\frac{\pi}{4}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

б)

$$y=-x\sqrt3$$

Подходящие точки:

$$M_1\left(\frac12;-\frac{\sqrt3}{2}\right), \quad M_2\left(-\frac12;\frac{\sqrt3}{2}\right).$$

Им соответствуют углы

$$t_1=\frac{5\pi}{3}+2\pi n,\quad t_2=\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Следовательно,

$$t=-\frac{\pi}{3}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

в)

$$x+y=0$$

Тогда

$$y=-x.$$

Подходящие точки:

$$M_1\left(\frac{\sqrt2}{2};-\frac{\sqrt2}{2}\right), \quad M_2\left(-\frac{\sqrt2}{2};\frac{\sqrt2}{2}\right).$$

Им соответствуют углы

$$t_1=\frac{7\pi}{4}+2\pi n,\quad t_2=\frac{3\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Значит,

$$t=-\frac{\pi}{4}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

г)

$$\frac{x}{y}=\sqrt3$$

Тогда при $$y\ne 0$$ имеем

$$x=y\sqrt3.$$

Подходящие точки:

$$M_1\left(\frac{\sqrt3}{2};\frac12\right), \quad M_2\left(-\frac{\sqrt3}{2};-\frac12\right).$$

Им соответствуют углы

$$t_1=\frac{\pi}{6}+2\pi n,\quad t_2=\frac{7\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Следовательно,

$$t=\frac{\pi}{6}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$t=\frac{\pi}{4}+\pi k$$; б) $$t=-\frac{\pi}{3}+\pi k$$; в) $$t=-\frac{\pi}{4}+\pi k$$; г) $$t=\frac{\pi}{6}+\pi k$$, $$k\in\mathbb Z$$.